¡terence tao ofrece una recompensa por el cerebro más poderoso de internet! ¿los humanos con ia subvierten los problemas matemáticos? los internautas de versalles se han ido
2024-09-29
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nuevo informe de sabiduría
editor: eneas tiene mucho sueño[introducción a la nueva sabiduría]recientemente, tao zhexuan lanzó un desafío para la mayoría de los internautas y entusiastas de las matemáticas: ¿pueden los entusiastas de las matemáticas populares, los asistentes de prueba, los asistentes automatizados y la inteligencia artificial unir fuerzas para probar problemas matemáticos que se extienden en varios órdenes de magnitud?
¿quiere participar en el proyecto de investigación matemática "crowdsourcing" lanzado por terence tao?¡ha llegado la oportunidad!la investigación matemática de pruebas asistida por ia es cada vez más factible
cada uno de ellos está lo suficientemente familiarizado con aspectos del proyecto como para validar las contribuciones de cada uno.pero si se quieren organizar proyectos de investigación matemática a mayor escala, especialmente proyectos que implican contribuciones públicas, es mucho más problemático.la razón es que es difícil verificar la contribución de todos.a finales de 2023, terence tao anunció que el proyecto lean4, que formalizó la prueba de la conjetura polinómica de freiman-ruzsa, tuvo éxito después de tres semanas (la imagen muestra el estado más reciente)tenga en cuenta que un solo error en una parte de un argumento matemático puede hacer que todo el proyecto fracase.además, dada la complejidad de un proyecto matemático típico, no es realista esperar que miembros del público con educación universitaria en matemáticas hagan contribuciones significativas.de esto también podemos saber que incorporar herramientas de ia en proyectos de investigación matemática también es un gran desafío.debido a que la ia puede generar argumentos que parecen razonables pero que en realidad no tienen sentido, se requiere una verificación adicional antes de que la parte generada por la ia pueda agregarse al proyecto.afortunadamente, los lenguajes asistidos por pruebas como lean ofrecen formas potenciales de superar estos obstáculos y permitir la colaboración entre matemáticos profesionales, el público en general y las herramientas de inteligencia artificial.este enfoque se basa en la premisa de que los proyectos se pueden dividir de forma modular en partes más pequeñas que se pueden completar sin tener que comprender el proyecto completo.los ejemplos actuales incluyen principalmente proyectos que formalizan resultados matemáticos existentes (como la formalización de la conjetura pfr demostrada recientemente por marton).estas formalizaciones se realizan principalmente a través de crowdsourcing por parte de contribuyentes humanos (incluidos matemáticos profesionales y miembros del público interesados).al mismo tiempo, también están surgiendo algunos intentos de introducir herramientas más automatizadas para completar la tarea, incluidos los demostradores automáticos de teoremas tradicionales y herramientas más modernas basadas en inteligencia artificial.es posible explorar nuevos problemas matemáticos.
y,terence taotambién se cree que este nuevo paradigma puede utilizarse no sólo para formalizar las matemáticas existentes, sino también para explorar matemáticas completamente nuevas.en el pasado, él y su sucesor organizaron un proyecto de colaboración en línea "polymath", que es un buen ejemplo.sin embargo, este proyecto no incorporó un lenguaje auxiliar de prueba en el flujo de trabajo, y las contribuciones debían ser gestionadas y verificadas por moderadores humanos, lo que consumía mucho tiempo y limitaba la expansión de estos proyectos.ahora, tao zhexuan espera que agregar un lenguaje auxiliar de prueba pueda romper este cuello de botella.está particularmente interesado en saber si es posible utilizar estas herramientas modernas para explorar una clase de problemas matemáticos simultáneamente, en lugar de centrarse sólo en uno o dos problemas a la vez.en esencia, este enfoque es modular para tareas repetitivas, y las herramientas de automatización y crowdsourcing pueden ser particularmente útiles si existe una plataforma para coordinar rigurosamente todas las contribuciones.este tipo de problema matemático no habría sido escalable utilizando métodos anteriores. a menos que explore lentamente un punto de datos a la vez con artículos individuales durante muchos años hasta que obtenga una intuición razonable sobre este tipo de problema.además, tener un gran conjunto de datos de problemas puede ayudar a realizar evaluaciones de rendimiento de varias herramientas de automatización y comparar la eficiencia de diferentes flujos de trabajo.en julio de este año, se confirmó que el quinto número de busy beaver era 47.176.870.algunos proyectos informáticos de colaboración colectiva anteriores, como great internet mersenne prime search (gimps), son similares en espíritu a estos proyectos, aunque utilizan un mecanismo de prueba de trabajo más tradicional, en lugar de ser un lenguaje auxiliar.terence tao dijo que le interesaría saber si existen otros ejemplos de proyectos de crowdsourcing que exploran espacios matemáticos y si hay alguna lección aprendida que pueda utilizarse.tao zhexuan propone nuevos proyectos
con este fin, el propio tao propuso un proyecto para probar más a fondo este paradigma.este proyecto se inspiró en la pregunta de mathoverflow del año pasado.poco después, tao zhexuan lo discutió más a fondo en su mathstodon.este problema pertenece al campo del álgebra universal e implica una exploración a mediana escala de la teoría de ecuaciones simples del grupo original (magma).el grupo original es un grupo equipado con operaciones binarias.el conjunto g.inicialmente, esta operación o no tiene ningún axioma adicional adjunto, por lo que el grupo original en sí es una estructura relativamente simple.por supuesto, al agregar axiomas adicionales, como axiomas de identidad o axiomas de asociatividad, podemos obtener objetos matemáticos más familiares, como grupos, semigrupos o monoides.aquí estamos interesados en los axiomas de igualdad (libres de constantes). estos axiomas se refieren a la igualdad de expresiones construidas a partir de operaciones o y una o más variables desconocidas en g.dos ejemplos familiares de tales axiomas son la ley conmutativa xoy = yox y la ley asociativa (xoy) oz = xo (yoz).donde x, y, z son variables desconocidas en el grupo original g.por otro lado, el axioma de identidad (izquierdo) eox = x no se considera aquí un axioma ecuacional porque involucra una constante e ∈ g. en este estudio no se analizan tales axiomas que involucran constantes.a continuación, para ilustrar el proyecto de investigación que inició, terence tao presentó once ejemplos de axiomas de igualdad sobre grupos primitivos.estos axiomas de igualdad son ecuaciones que involucran sólo operaciones de grupos primitivos y variables desconocidas.entonces, por ejemplo, la ecuación 7 representa el axioma conmutativo, mientras que la ecuación 10 representa el axioma asociativo.el axioma constante de la ecuación 1 es el más fuerte, porque restringe el grupo original g a tener como máximo un elemento; por el contrario, el axioma reflexivo de la ecuación 11 es el más débil y todos los grupos originales satisfacen este axioma;a continuación, podemos explorar la relación de derivación entre estos axiomas: ¿qué axiomas pueden deducir qué axiomas?por ejemplo, la ecuación 1 conduce a todos los demás axiomas de esta lista, que a su vez conduce a la ecuación 11.la ecuación 8 puede usarse como un caso especial para derivar la ecuación 9, que a su vez puede usarse como un caso especial para derivar la ecuación 10.la relación de derivación completa entre estos axiomas se puede describir mediante el siguiente diagrama de hasse:este resultado responde específicamente a una pregunta en el sitio web de preguntas y respuestas de matemáticas mathoverflow: si existen axiomas ecuacionales entre el axioma constante (ecuación 1) y el axioma de asociatividad (ecuación 10).vale la pena señalar que la mayoría de las relaciones de implicación aquí son fáciles de probar. sin embargo, existe una relación de implicaciones no trivial.esta relación se encontró en una respuesta a una publicación de mathoverflow estrechamente relacionada con la pregunta anterior:proposición 1: la ecuación 4 implica la ecuación 7prueba: supongamos que g satisface la ecuación 4, por lo tantose cumple para todo x,y ∈ g.en particular, cuando y = xox, se deduce que (xox) o (xox) = (xox) ox.aplicando (1) nuevamente, podemos concluir que xox es idempotente:ahora, reemplazando x con xox en (1) y usando (2), obtenemos (xox) oy = yo (xox).en particular, xox y yoy son intercambiables:además, aplicando (1) dos veces, obtenemos (xox) o (yoy) = (yoy) ox = xoy.por lo tanto, (3) se puede simplificar a xoy = yox, que es la ecuación 7.la formalización del proceso de argumentación anterior se puede encontrar en lean.vale la pena señalar, sin embargo, que la cuestión general de determinar si un conjunto de axiomas de igualdad determina otro conjunto de axiomas de igualdad es indecidible.por lo tanto, la situación aquí es algo similar al desafío "busy beaver", es decir, después de un cierto punto de complejidad, seguramente encontraremos problemas indecidibles, pero antes de alcanzar este umbral, todavía esperamos descubrir problemas y fenómenos interesantes;el diagrama de hass anterior no sólo afirma las relaciones de vinculación entre los axiomas de igualdad enumerados, sino que también afirma las relaciones de no implicación entre los axiomas.por ejemplo, como se muestra en la figura, el axioma conmutativo de la ecuación 7 no implica el axioma de la ecuación 4 (x + x) + y = y + x.para probar esto, simplemente encuentre un ejemplo de un grupo primitivo que satisfaga el axioma conmutativo de la ecuación 7 pero no satisfaga el axioma de la ecuación 4.por ejemplo, en este caso, podemos elegir el conjunto de números naturales n, cuya operación es xoy := x+y.de manera más general, el diagrama afirma las siguientes relaciones de no implicación, que (junto con las relaciones de implicación ya señaladas) describen completamente el conjunto parcialmente ordenado de relaciones de implicación entre estos once axiomas:aquí, tao zhexuan invita a los lectores a proponer contraejemplos para completar algunas de las pruebas.el contraejemplo más difícil de encontrar es que la ecuación 9 no puede deducir la ecuación 8.se puede dar una solución utilizando lean.además, tao zhexuan también proporciona un repositorio de github que contiene pruebas lean de todas las relaciones de inclusión y antiinclusión anteriores.se puede ver que simplemente calcular el diagrama de haas de 11 ecuaciones ya es un poco engorroso.el proyecto propuesto por terence tao es un intento de ampliar este diagrama de hass en varios órdenes de magnitud para cubrir una gama más amplia de conjuntos de ecuaciones.el conjunto que propuso fue ε, el conjunto de ecuaciones que utiliza la operación de grupo original o como máximo cuatro veces, hasta que se volvieron a etiquetar los axiomas de reflexividad y simetría de las ecuaciones de suma.esto incluye las once ecuaciones mencionadas anteriormente, pero hay muchas más.recuerde que el número catalán c_n es el número de formas de formar una expresión usando la operación binaria o (aplicada a n+1 variables de marcador de posición y dada una cadena de m variables de marcador de posición, el número de bell b_m es el número de formas en que están estas variables); nombres asignados (que se pueden reetiquetar), lo que permite asignar el mismo nombre a ciertos marcadores de posición.por lo tanto, ignorando la simetría, el número de ecuaciones que involucran como máximo cuatro operaciones esel número de ecuaciones cuyos lados izquierdo y derecho son iguales esestos son equivalentes a los axiomas reflexivos (ecuación 11).las 9118 ecuaciones restantes aparecen en pares debido a la simetría de las ecuaciones, por lo que el tamaño total de ε es
tao zhexuan dijo que aún no ha generado una lista completa de dichas identidades, pero sospecha que se puede hacer fácilmente usando python.al utilizar herramientas de inteligencia artificial, debería poder generar la mayor parte del código requerido.dijo que no tenía idea de cómo sería la geometría de ε.¿serán la mayoría de las ecuaciones incomparables entre sí? ¿se dividirá en axiomas "fuertes" y axiomas "débiles"?ahora, el área de mensajes de terence tao tiene decenas de comentarios.lectores interesados, tao zhexuan también les ha extendido una invitación.
