terence tao tarjoaa palkinnon internetin tehokkaimmista aivoista! tekoäly-ihmiset kumoavat matemaattisia ongelmia? versailles-netizens ovat poissa
2024-09-29
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
toimittaja: aeneas niin uninen[johdatus uuteen viisauteen]tao zhexuan esitti äskettäin haasteen suurimmalle osalle verkko- ja matematiikan harrastajia: voivatko suositut matematiikan harrastajat, todistusavustajat, automatisoidut avustajat ja tekoäly yhdistää voimansa todistaakseen useita suuruusluokkia ulottuvia matemaattisia ongelmia?
haluatko osallistua terence taon käynnistämään "crowdsourcing" matematiikan tutkimusprojektiin?tekoälyavusteisesta matemaattisesta todistuksesta on tulossa yhä enemmän mahdollista
jokainen heistä tuntee tarpeeksi hankkeen osa-alueita voidakseen validoida toistensa panoksen.mutta jos haluat järjestää suuremman mittakaavan matemaattisia tutkimusprojekteja, erityisesti hankkeita, joihin liittyy julkista panosta, se on paljon hankalampaa.syynä on se, että kaikkien panosta on vaikea todentaa.vuoden 2023 lopussa terence tao ilmoitti, että lean4-projekti, joka virallisti polynomin freiman-ruzsa-oletuksen todisteen, onnistui kolmen viikon jälkeen (kuvassa viimeisin tila)muista, että yksittäinen virhe matemaattisen argumentin yhdessä osassa voi aiheuttaa koko projektin epäonnistumisen.lisäksi, kun otetaan huomioon tyypillisen matematiikkaprojektin monimutkaisuus, on epärealistista odottaa matematiikan perustutkintokoulutuksen saaneiden kansalaisten antavan merkityksellisiä panoksia.tästä voimme myös tietää, että tekoälytyökalujen sisällyttäminen matemaattisiin tutkimusprojekteihin on myös erittäin haastavaa.koska tekoäly voi luoda argumentteja, jotka vaikuttavat järkeviltä, mutta eivät itse asiassa ole järkeviä, tarvitaan lisävarmennus ennen kuin tekoälyn luoma osa voidaan lisätä projektiin.onneksi todistetut kielet, kuten lean, tarjoavat mahdollisia tapoja voittaa nämä esteet ja mahdollistavat yhteistyön ammattimatemaatikoiden, suuren yleisön ja tekoälytyökalujen välillä.tämä lähestymistapa perustuu olettamukseen, että projektit voidaan jakaa modulaarisesti pienempiin osiin, jotka voidaan suorittaa loppuun ilman koko projektin ymmärtämistä.nykyiset esimerkit sisältävät pääasiassa projekteja, jotka formalisoivat olemassa olevia matemaattisia tuloksia (kuten martonin äskettäin todistama pfr-oletuksen formalisointi).nämä formalisoinnit tehdään ensisijaisesti inhimillisten osallistujien (mukaan lukien ammattimatemaatikot ja kiinnostuneet yleisöt) toimesta joukkoistamalla.samaan aikaan on myös uusia yrityksiä ottaa käyttöön enemmän automatisoituja työkaluja tehtävän suorittamiseksi, mukaan lukien perinteiset automaattiset lauseiden todistajat ja nykyaikaisemmat tekoälypohjaiset työkalut.on mahdollista tutkia uusia matemaattisia ongelmia
ja,terence taouskotaan myös, että tätä uutta paradigmaa voidaan käyttää paitsi olemassa olevan matematiikan formalisoimiseen, myös täysin uuden matematiikan tutkimiseen!aikaisemmin hän järjesti seuraajansa kanssa online-yhteistyöprojektin "polymath", mikä on hyvä esimerkki.tämä projekti ei kuitenkaan sisällytä työnkulkuun todisteita tukevia kieliä, ja ihmisten moderaattoreiden on hallinnoitava ja tarkistettava lahjoituksia, mikä on erittäin aikaa vievää ja rajoittaa näiden projektien laajentamista edelleen.nyt tao zhexuan toivoo, että todisteen apukielen lisääminen voi katkaista tämän pullonkaulan.hän on erityisen kiinnostunut siitä, voidaanko näiden nykyaikaisten työkalujen avulla tutkia useita matemaattisia ongelmia samanaikaisesti sen sijaan, että keskittyisivät vain yhteen tai kahteen ongelmaan kerrallaan.pohjimmiltaan tämä lähestymistapa on modulaarinen toistuviin tehtäviin, ja joukkohankinta- ja automaatiotyökalut voivat olla erityisen hyödyllisiä, jos on olemassa alusta, joka koordinoi tiukasti kaikkia panoksia.tämän tyyppinen matemaattinen ongelma ei olisi ollut skaalattavissa aikaisemmilla menetelmillä. ellet tutki hitaasti yhtä datapistettä kerrallaan yksittäisillä papereilla useiden vuosien ajan, kunnes saat kohtuullisen intuition tällaisesta ongelmasta.lisäksi suuri ongelmatietojoukko voi auttaa suorittamaan eri automaatiotyökalujen suorituskykyarviointeja ja vertailla eri työnkulkujen tehokkuutta.tämän vuoden heinäkuussa vahvistettiin viidenneksi busy beaver -luku 47 176 870.jotkut aikaisemmat joukkolähdetyt laskentaprojektit, kuten great internet mersenne prime search (gimps), ovat hengeltään samanlaisia kuin nämä projektit, vaikka ne käyttävätkin perinteisempää proof-of-work -mekanismia apukielen sijaan.terence tao sanoi olevansa kiinnostunut tietämään, onko olemassa muita esimerkkejä matemaattisia tiloja tutkivista joukkohankintaprojekteista ja onko oppitunteja, joita voidaan käyttää.tao zhexuan ehdottaa uusia projekteja
tätä tarkoitusta varten tao itse ehdotti projektia tämän paradigman testaamiseksi edelleen.tämä projekti sai inspiraationsa viime vuoden mathoverflow-kysymyksestä.pian tämän jälkeen tao zhexuan keskusteli siitä edelleen mathstodonissaan.tämä ongelma kuuluu yleisalgebran alaan ja sisältää alkuperäisen ryhmän (magman) yksinkertaisten yhtälöiden teorian keskipitkän tutkimuksen.alkuperäinen ryhmä on ryhmä, joka on varustettu binäärioperaatioillasarja g.aluksi tähän operaatioon o ei ole liitetty lisäaksioomia, joten alkuperäinen ryhmä itsessään on suhteellisen yksinkertainen rakenne.tietenkin lisäämällä lisäaksioomeja, kuten identiteettiaksioomeja tai assosiatiivisuusaksioomia, voimme saada tutumpia matemaattisia objekteja, kuten ryhmiä, puoliryhmiä tai monoideja.tässä meitä kiinnostavat tasa-arvon (vakiovapaat) aksioomat. nämä aksioomit koskevat lausekkeiden yhtäläisyyttä, jotka on muodostettu operaatioista o ja yhdestä tai useammasta tuntemattomasta muuttujasta g:ssä.kaksi tuttua esimerkkiä tällaisista aksioomista ovat kommutatiivinen laki xoy = yox ja assosiaatiolaki (xoy) oz = xo (yoz).missä x, y, z ovat tuntemattomia muuttujia alkuperäisessä ryhmässä g.toisaalta (vasen) identiteettiaksiooma eox = x ei pidetä tässä yhtälöaksioomana, koska se sisältää vakion e ∈ g. tällaisia vakioita sisältäviä aksioomia ei käsitellä tässä tutkimuksessa.seuraavaksi terence tao esitteli 11 esimerkkiä primitiivisiä ryhmiä koskevista tasa-arvoaksioomista havainnollistaakseen aloittamaansa tutkimusprojektia.nämä yhtäläisyysaksioomit ovat yhtälöitä, jotka sisältävät vain primitiivisiä ryhmäoperaatioita ja tuntemattomia muuttujia -joten esimerkiksi yhtälö 7 edustaa kommutatiivista aksioomaa, kun taas yhtälö 10 edustaa assosiatiivista aksioomaa.vakioaksiooma yhtälö 1 on vahvin, koska se rajoittaa alkuperäisen ryhmän g enintään yhden alkion, päinvastoin, refleksiivinen aksiooma yhtälö 11 on heikoin, ja kaikki alkuperäiset ryhmät täyttävät tämän aksiooman.seuraavaksi voimme tutkia näiden aksioomien välistä johtamissuhdetta: mitkä aksioomit voivat päätellä mitkä aksioomit?esimerkiksi yhtälö 1 johtaa kaikkiin muihin tämän luettelon aksioomiin, mikä puolestaan johtaa yhtälöön 11.yhtälöä 8 voidaan käyttää erikoistapauksena johtamaan yhtälö 9, jota puolestaan voidaan käyttää erikoistapauksena yhtälön 10 johtamiseen.näiden aksioomien välinen täydellinen johdannaissuhde voidaan kuvata seuraavalla hasse-kaaviolla:tämä tulos vastaa nimenomaan kysymykseen matematiikan q&a-sivustolla mathoverflow: onko vakioaksiooman (yhtälö 1) ja assosiatiivisuusaksiooman (yhtälö 10) välillä yhtälöaksioomia.on syytä huomata, että suurin osa implikaatiosuhteista on helppo todistaa. on kuitenkin olemassa ei-triviaali implikaatiosuhde.tämä suhde löydettiin vastauksesta mathoverflow-viestiin, joka liittyy läheisesti edelliseen kysymykseen:lause 1: yhtälö 4 tarkoittaa yhtälöä 7todistus: oletetaan siis, että g täyttää yhtälön 4se pätee kaikille x,y ∈ g.erityisesti, kun y = xox, seuraa, että (xox) o (xox) = (xox) ox.soveltamalla (1) uudelleen voimme päätellä, että xox on idempotentti:nyt, kun x korvataan xoxilla kohdassa (1) ja käytetään (2), saadaan (xox) oy = yo (xox).erityisesti xox ja yoy ovat keskenään vaihdettavissa:lisäksi soveltamalla (1) kahdesti saadaan (xox) o (yoy) = (yoy) ox = xoy.siksi (3) voidaan yksinkertaistaa muotoon xoy = yox, joka on yhtälö 7.yllä olevan argumentointiprosessin formalisaatio löytyy leanista.on kuitenkin syytä huomata, että yleistä kysymystä sen määrittämisestä, määrittääkö yksi tasa-aksioomien joukko toisen tasa-aksiooman joukon, ei voida ratkaista.tilanne on siis hieman samanlainen kuin "busy beaver" -haasteessa, eli tietyn monimutkaisuuden jälkeen kohtaamme varmasti ratkaisemattomia ongelmia, mutta ennen tämän kynnyksen saavuttamista toivomme silti löytävämme mielenkiintoisia ongelmia ja ilmiöitä.yllä oleva hass-kaavio ei ainoastaan väitä liitossuhteita lueteltujen yhtäläisyysaksioomien välillä, vaan myös väittää aksioomien väliset ei-implikaatiosuhteet.esimerkiksi, kuten kuvasta näkyy, kommutatiivinen aksioomayhtälö 7 ei tarkoita yhtälön 4 aksioomia (x + x) + y = y + x.tämän todistamiseksi etsi vain esimerkki primitiivisestä ryhmästä, joka täyttää kommutatiivisen aksiooman yhtälön 7, mutta ei täytä aksiooman yhtälöä 4.esimerkiksi tässä tapauksessa voidaan valita luonnollinen lukujoukko n, jonka operaatio on xoy := x+y.yleisemmin kaaviossa esitetään seuraavat ei-implikaatiosuhteet, jotka (yhdessä jo mainittujen implikaatiosuhteiden kanssa) kuvaavat täysin näiden yhdentoista aksiooman välisen osittain järjestetyn implikaatiosuhteiden sarjan:tässä terence tao kehottaa lukijoita toimittamaan vastaesimerkkejä joidenkin todisteiden täydentämiseksi.vaikein vastaesimerkki on se, että yhtälö 9 ei voi johtaa yhtälöä 8.ratkaisu voidaan antaa leanin avulla.lisäksi tao zhexuan tarjoaa myös github-arkiston, joka sisältää lean-todisteita kaikista yllä olevista sisällyttämis- ja inkluusiosuhteista.voidaan nähdä, että pelkkä 11 yhtälön haas-kaavion laskeminen on jo hieman hankalaa.terence taon ehdottama projekti on yritys laajentaa tätä hass-kaaviota useilla suuruusluokilla kattamaan laajemman valikoiman yhtälöjoukkoja.hänen ehdottama joukko oli ε, yhtälöjoukko käyttäen alkuperäistä ryhmäoperaatiota o enintään neljä kertaa, kunnes summayhtälöiden refleksiivisuuden ja symmetrian aksioomat nimettiin uudelleen.tämä sisältää edellä mainitut yksitoista yhtälöä, mutta niitä on monia muitakin.muista, että katalaani luku c_n on kuinka monta tapaa muodostaa lauseke binäärioperaatiolla o (sovellettu n+1 paikkamerkkimuuttujaan ja annettuna m paikkamerkkimuuttujan merkkijono, bell-luku b_m on näiden muuttujien tapojen määrä); määritetyt nimet (jotka voidaan nimetä uudelleen), mikä mahdollistaa tietyn paikkamerkkien määrittämisen saman nimen.siksi, symmetriaa huomioimatta, yhtälöiden lukumäärä, jotka sisältävät enintään neljä operaatiota, onniiden yhtälöiden lukumäärä, joiden vasen ja oikea puoli ovat samatnämä vastaavat refleksiivisiä aksioomia (yhtälö 11).loput 9118 yhtälöä esiintyvät pareittain yhtälöiden symmetrian vuoksi, joten ε:n kokonaiskoko on
tao zhexuan sanoi, että hän ei ole vielä luonut täydellistä luetteloa tällaisista henkilöllisyydestä, mutta hän epäilee, että se voidaan tehdä helposti pythonilla.tekoälytyökalujen avulla sinun pitäisi pystyä luomaan suurin osa vaaditusta koodista.hän sanoi, ettei hänellä ollut aavistustakaan, miltä ε:n geometria näyttäisi.ovatko useimmat yhtälöt verrattavissa toisiinsa? jaetaanko se "vahviin" aksioomeihin ja "heikkoihin" aksioomeihin?nyt terence taon viestialueella on kymmeniä kommentteja.kiinnostuneet lukijat, tao zhexuan on myös lähettänyt sinulle kutsun.
