terence tao está oferecendo uma recompensa para o cérebro mais poderoso da internet! os humanos da ia subvertem problemas matemáticos? os internautas de versalhes se foram
2024-09-29
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novo relatório de sabedoria
editor: enéias com tanto sono[introdução à nova sabedoria]recentemente, tao zhexuan lançou um desafio para a maioria dos internautas e entusiastas da matemática: os entusiastas populares da matemática, assistentes de prova, assistentes automatizados e ia podem unir forças para provar problemas matemáticos que se estendem por várias ordens de magnitude?
quer participar do projeto de pesquisa matemática "crowdsourcing" lançado por terence tao?a pesquisa matemática de prova assistida por ia está se tornando cada vez mais viável
cada um deles está suficientemente familiarizado com os aspectos do projeto para validar as contribuições uns dos outros.mas se quisermos organizar projectos de investigação matemática em larga escala, especialmente projectos que envolvam contribuições públicas, será muito mais problemático.a razão é que é difícil verificar a contribuição de todos.no final de 2023, terence tao anunciou que o projeto lean4, que formalizou a prova da conjectura polinomial de freiman-ruzsa, foi bem-sucedido após três semanas (a imagem mostra o status mais recente)esteja ciente de que um único erro em uma parte de um argumento matemático pode causar o fracasso de todo o projeto.além disso, dada a complexidade de um projeto típico de matemática, não é realista esperar que membros do público com ensino superior em matemática façam contribuições significativas.a partir disso também podemos saber que incorporar ferramentas de ia em projetos de pesquisa matemática também é extremamente desafiador.como a ia pode gerar argumentos que parecem razoáveis, mas na verdade não fazem sentido, é necessária uma verificação adicional antes que a parte gerada pela ia possa ser adicionada ao projeto.felizmente, linguagens assistidas por provas, como o lean, oferecem maneiras potenciais de superar esses obstáculos e permitir a colaboração entre matemáticos profissionais, o público em geral e ferramentas de ia.esta abordagem baseia-se na premissa de que os projetos podem ser divididos de forma modular em partes menores que podem ser concluídas sem a necessidade de compreender todo o projeto.os exemplos atuais incluem principalmente projetos que formalizam resultados matemáticos existentes (como a formalização da conjectura pfr recentemente provada por marton).essas formalizações são feitas principalmente por meio de crowdsourcing por colaboradores humanos (incluindo matemáticos profissionais e membros interessados do público).ao mesmo tempo, existem também algumas tentativas emergentes de introduzir ferramentas mais automatizadas para completar a tarefa, incluindo os tradicionais provadores automáticos de teoremas e ferramentas mais modernas baseadas em ia.torna-se possível explorar novos problemas matemáticos
e,terence taoacredita-se também que este novo paradigma pode ser usado não apenas para formalizar a matemática existente, mas também para explorar uma matemática completamente nova!no passado, ele e seu sucessor organizaram um projeto de colaboração online "polymath", que é um bom exemplo.no entanto, este projeto não incorporou uma linguagem auxiliar de prova no fluxo de trabalho e as contribuições tiveram que ser gerenciadas e verificadas por moderadores humanos, o que consumia muito tempo e limitava a expansão adicional desses projetos.agora, tao zhexuan espera que a adição de uma linguagem auxiliar de prova possa quebrar esse gargalo.ele está particularmente interessado em saber se é possível utilizar estas ferramentas modernas para explorar uma classe de problemas matemáticos simultaneamente, em vez de focar apenas um ou dois problemas de cada vez.em essência, esta abordagem é modular para tarefas repetitivas, e as ferramentas de crowdsourcing e automação podem ser particularmente úteis se houver uma plataforma implementada para coordenar rigorosamente todas as contribuições.este tipo de problema matemático não teria sido escalonável usando métodos anteriores. a menos que você explore lentamente um ponto de dados de cada vez com artigos individuais ao longo de muitos anos, até obter uma intuição razoável sobre esse tipo de problema.além disso, ter um grande conjunto de dados de problemas pode ajudar a realizar avaliações de desempenho de várias ferramentas de automação e comparar a eficiência de diferentes fluxos de trabalho.em julho deste ano, o quinto número do busy beaver foi confirmado como 47.176.870.alguns projetos anteriores de computação crowdsourced, como o great internet mersenne prime search (gimps), são semelhantes em espírito a esses projetos, embora utilizem um mecanismo de prova de trabalho mais tradicional, em vez de provar uma linguagem auxiliar.terence tao disse que estaria interessado em saber se existem outros exemplos de projetos de crowdsourcing explorando espaços matemáticos e se há alguma lição aprendida que possa ser usada.tao zhexuan propõe novos projetos
para tanto, o próprio tao propôs um projeto para testar ainda mais esse paradigma.este projeto foi inspirado na pergunta mathoverflow do ano passado.logo depois, tao zhexuan discutiu mais detalhadamente o assunto em seu mathstodon.este problema pertence ao campo da álgebra universal e envolve uma exploração em média escala da teoria das equações simples do grupo original (magma).o grupo original é um grupo equipado com operações bináriaso conjunto g.inicialmente, esta operação o não possui nenhum axioma adicional anexado, portanto o grupo original em si é uma estrutura relativamente simples.é claro que, ao adicionar axiomas adicionais, como axiomas de identidade ou axiomas de associatividade, podemos obter objetos matemáticos mais familiares, como grupos, semigrupos ou monóides.aqui estamos interessados nos axiomas de igualdade (livres de constante). esses axiomas dizem respeito à igualdade de expressões construídas a partir de operações o e uma ou mais variáveis desconhecidas em g.dois exemplos familiares de tais axiomas são a lei comutativa xoy = yox e a lei associativa (xoy) oz = xo (yoz).onde x, y, z são variáveis desconhecidas no grupo original g.por outro lado, o axioma de identidade (esquerda) eox = x não é considerado um axioma equacional aqui porque envolve uma constante e ∈ g. tais axiomas envolvendo constantes não são discutidos neste estudo.em seguida, para ilustrar o projeto de pesquisa que iniciou, terence tao apresentou onze exemplos de axiomas de igualdade sobre grupos primitivos.esses axiomas de igualdade são equações que envolvem apenas operações de grupos primitivos e variáveis desconhecidas—assim, por exemplo, a equação 7 representa o axioma comutativo, enquanto a equação 10 representa o axioma associativo.o axioma constante equação 1 é o mais forte, porque restringe o grupo original g a ter no máximo um elemento, pelo contrário, o axioma reflexivo equação 11 é o mais fraco, e todos os grupos originais satisfazem este axioma;a seguir, podemos explorar a relação de derivação entre esses axiomas: quais axiomas podem deduzir quais axiomas?por exemplo, a equação 1 leva a todos os outros axiomas desta lista, que por sua vez leva à equação 11.a equação 8 pode ser usada como um caso especial para derivar a equação 9, que por sua vez pode ser usada como um caso especial para derivar a equação 10.a relação de derivação completa entre esses axiomas pode ser descrita pelo seguinte diagrama de hasse:este resultado responde especificamente a uma pergunta no site de perguntas e respostas sobre matemática mathoverflow: se existem axiomas equacionais entre o axioma da constante (equação 1) e o axioma da associatividade (equação 10).vale a pena notar que a maioria das relações de implicação aqui são fáceis de provar. no entanto, existe uma relação de implicação não trivial.essa relação foi encontrada em uma resposta a uma postagem do mathoverflow intimamente relacionada à pergunta anterior:proposição 1: equação 4 implica equação 7prova: suponha que g satisfaça a equação 4, portantoé válido para todo x,y ∈ g.em particular, quando y = xox, segue-se que (xox) o (xox) = (xox) boi.aplicando (1) novamente, podemos concluir que xox é idempotente:agora, substituindo x por xox em (1) e usando (2), obtemos (xox) oy = yo (xox).em particular, xox e yoy são intercambiáveis:além disso, aplicando (1) duas vezes, obtemos (xox) o (yoy) = (yoy) ox = xoy.portanto, (3) pode ser simplificado para xoy = yox, que é a equação 7.a formalização do processo de argumentação acima pode ser encontrada no lean.vale a pena notar, contudo, que a questão geral de determinar se um conjunto de axiomas de igualdade determina outro conjunto de axiomas de igualdade é indecidível.portanto, a situação aqui é um pouco semelhante ao desafio do "castor ocupado", ou seja, após um certo ponto de complexidade, estamos fadados a encontrar problemas indecidíveis, mas antes de atingir este limiar, ainda esperamos descobrir problemas e fenómenos interessantes;o diagrama de hass acima não apenas afirma as relações de implicação entre os axiomas de igualdade listados, mas também afirma as relações de não implicação entre os axiomas.por exemplo, conforme mostrado na figura, o axioma comutativo da equação 7 não implica o axioma da equação 4 (x + x) + y = y + x.para provar isso, basta encontrar um exemplo de grupo primitivo que satisfaça o axioma comutativo da equação 7, mas não satisfaça o axioma da equação 4.por exemplo, neste caso, podemos escolher o conjunto de números naturais n, cuja operação é xoy := x+y.de forma mais geral, o diagrama afirma as seguintes relações de não implicação, que (juntamente com as relações de implicação já observadas) descrevem completamente o conjunto parcialmente ordenado de relações de implicação entre estes onze axiomas:aqui, tao zhexuan convida os leitores a propor contra-exemplos para completar algumas das provas.o contra-exemplo mais difícil de encontrar é que a equação 9 não pode deduzir a equação 8.uma solução pode ser dada usando lean.além disso, tao zhexuan também fornece um repositório github que contém provas lean de todas as relações de inclusão e anti-inclusão acima.pode-se observar que apenas calcular o diagrama de haas de 11 equações já é um pouco complicado.o projeto proposto por terence tao é uma tentativa de expandir este diagrama de hass em várias ordens de grandeza para cobrir uma gama mais ampla de conjuntos de equações.o conjunto que ele propôs foi ε, o conjunto de equações usando a operação de grupo original o no máximo quatro vezes, até que os axiomas de reflexividade e simetria das equações de soma fossem renomeados.isto inclui as onze equações mencionadas acima, mas existem muitas mais.lembre-se de que o número catalão c_n é o número de maneiras de formar uma expressão usando a operação binária o (aplicada a n+1 variáveis de espaço reservado e dada uma sequência de m variáveis de espaço reservado, o número de bell b_m é o número de maneiras pelas quais essas variáveis são); nomes atribuídos (que podem ser renomeados), o que permite que determinados espaços reservados recebam o mesmo nome.portanto, ignorando a simetria, o número de equações envolvendo no máximo quatro operações éo número de equações cujos lados esquerdo e direito são iguais éestes são equivalentes aos axiomas reflexivos (equação 11).as 9118 equações restantes aparecem em pares devido à simetria das equações, então o tamanho total de ε é
tao zhexuan disse que ainda não gerou uma lista completa dessas identidades, mas suspeita que isso possa ser feito facilmente usando python.usando ferramentas de ia, você poderá gerar a maior parte do código necessário.ele disse que não tinha ideia de como seria a geometria de ε.a maioria das equações será incomparável entre si? será dividido em axiomas “fortes” e axiomas “fracos”?agora, a área de mensagens de terence tao tem dezenas de comentários.leitores interessados, tao zhexuan também fez um convite a vocês.
