теренс тао предлагает награду самому мощному мозгу в интернете! ии-люди разрушают математические задачи? пользователи сети версаля пропали
2024-09-29
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
монтажер: эней такой сонный[введение в новую мудрость]недавно тао чжэсюань бросил вызов большинству пользователей сети и энтузиастов математики: могут ли популярные энтузиасты математики, помощники по доказательству, автоматизированные помощники и искусственный интеллект объединить усилия для доказательства математических задач, размер которых превышает несколько порядков?
хотите принять участие в краудсорсинговом проекте математических исследований, запущенном теренсом тао?математические исследования доказательств с помощью искусственного интеллекта становятся все более осуществимыми
каждый из них достаточно знаком с аспектами проекта, чтобы оценить вклад друг друга.но если вы хотите организовать более масштабные математические исследовательские проекты, особенно проекты, в которых участвует общественность, это гораздо сложнее.причина в том, что трудно проверить вклад каждого.в конце 2023 года теренс тао объявил, что проект lean4, формализовавший доказательство полиномиальной гипотезы фреймана-рузы, спустя три недели увенчался успехом (на снимке показан последний статус)помните, что единственная ошибка в одной части математического рассуждения может привести к провалу всего проекта.более того, учитывая сложность типичного математического проекта, нереально ожидать, что представители общественности с высшим математическим образованием внесут значимый вклад.из этого мы также можем понять, что включение инструментов ии в проекты математических исследований также является чрезвычайно сложной задачей.поскольку ии может генерировать аргументы, которые кажутся разумными, но на самом деле не имеют смысла, требуется дополнительная проверка, прежде чем часть, сгенерированная ии, может быть добавлена в проект.к счастью, языки с поддержкой доказательств, такие как lean, предлагают потенциальные способы преодоления этих барьеров и обеспечивают сотрудничество между профессиональными математиками, широкой общественностью и инструментами искусственного интеллекта.этот подход основан на предпосылке, что проекты могут быть разбиты по модульному принципу на более мелкие части, которые можно выполнить без необходимости понимания всего проекта.текущие примеры в основном включают проекты, которые формализуют существующие математические результаты (например, формализация гипотезы pfr, недавно доказанной мартоном).эта формализация в основном осуществляется посредством краудсорсинга людьми (включая профессиональных математиков и заинтересованных представителей общественности).в то же время предпринимаются также некоторые новые попытки внедрить более автоматизированные инструменты для выполнения этой задачи, включая традиционные автоматические средства доказательства теорем и более современные инструменты на основе искусственного интеллекта.становится возможным исследовать новые математические задачи.
и,теренс таотакже считается, что эту новую парадигму можно использовать не только для формализации существующей математики, но и для исследования совершенно новой математики!в прошлом он и его преемник организовали проект онлайн-сотрудничества «полимат», что является хорошим примером.однако этот проект не включает в рабочий процесс языки с поддержкой доказательств, а вклады должны управляться и проверяться модераторами-людьми, что отнимает очень много времени и ограничивает дальнейшее расширение этих проектов.теперь тао чжэсюань надеется, что добавление вспомогательного языка доказательства поможет устранить это узкое место.его особенно интересует, можно ли использовать эти современные инструменты для одновременного исследования целого класса математических задач, а не сосредотачиваться только на одной или двух задачах одновременно.по сути, этот подход является модульным для повторяющихся задач, а инструменты краудсорсинга и автоматизации могут быть особенно полезны, если есть платформа для строгой координации всех вкладов.математические задачи такого типа нельзя было масштабировать с помощью предыдущих методов. если только вы не будете медленно исследовать одну точку данных за раз в отдельных статьях в течение многих лет, пока не получите разумное интуитивное представление о такого рода проблемах.кроме того, наличие большого набора проблемных данных может помочь оценить производительность различных инструментов автоматизации и сравнить эффективность различных рабочих процессов.в июле этого года было подтверждено, что пятый номер busy beaver равен 47 176 870.некоторые более ранние краудсорсинговые вычислительные проекты, такие как great internet mersenne prime search (gimps), по духу схожи с этими проектами, хотя в них используется более традиционный механизм доказательства работы, а не доказательство вспомогательного языка.теренс тао сказал, что ему было бы интересно узнать, существуют ли другие существующие примеры краудсорсинговых проектов, исследующих математические пространства, и есть ли какие-либо извлеченные уроки, которые можно использовать.тао чжэсюань предлагает новые проекты
с этой целью сам тао предложил проект по дальнейшей проверке этой парадигмы.этот проект был вдохновлен прошлогодним вопросом mathoverflow.вскоре после этого тао чжэсюань продолжил обсуждение этого в своем mathstodon.эта проблема относится к области универсальной алгебры и предполагает среднемасштабное исследование теории простых уравнений исходной группы (магмы).исходная группа — это группа, оснащенная бинарными операциями.набор г.изначально эта операция o не имеет никаких дополнительных аксиом, поэтому сама исходная группа представляет собой относительно простую структуру.конечно, добавляя дополнительные аксиомы, такие как аксиомы тождества или аксиомы ассоциативности, мы можем получить более привычные математические объекты, такие как группы, полугруппы или моноиды.здесь нас интересуют (свободные от констант) аксиомы равенства. эти аксиомы касаются равенства выражений, построенных из операций o и одной или нескольких неизвестных переменных в g.двумя известными примерами таких аксиом являются коммутативный закон xoy = yox и ассоциативный закон (xoy) oz = xo (yoz).где x, y, z — неизвестные переменные в исходной группе g.с другой стороны, (левая) аксиома тождества eox = x не считается здесь эквациональной аксиомой, поскольку она включает константу e ∈ g. такие аксиомы, связанные с константами, в данной работе не обсуждаются.затем, чтобы проиллюстрировать инициированный им исследовательский проект, теренс тао представил одиннадцать примеров аксиом равенства примитивных групп.эти аксиомы равенства представляют собой уравнения, включающие только примитивные групповые операции и неизвестные переменные:так, например, уравнение 7 представляет собой коммутативную аксиому, а уравнение 10 представляет собой ассоциативную аксиому.постоянная аксиома (уравнение 1) является самой сильной, поскольку она ограничивает исходную группу g наличием не более одного элемента; напротив, рефлексивная аксиома (уравнение 11) является самой слабой, и все исходные группы удовлетворяют этой аксиоме;далее мы можем исследовать отношения вывода между этими аксиомами: какие аксиомы могут вывести какие аксиомы?например, уравнение 1 приводит ко всем остальным аксиомам в этом списке, что, в свою очередь, приводит к уравнению 11.уравнение 8 можно использовать как частный случай для вывода уравнения 9, которое, в свою очередь, можно использовать как частный случай для вывода уравнения 10.полную взаимосвязь вывода между этими аксиомами можно описать следующей диаграммой хассе:этот результат конкретно отвечает на вопрос на веб-сайте математических вопросов и ответов mathoverflow: существуют ли эквациональные аксиомы между аксиомой константы (уравнение 1) и аксиомой ассоциативности (уравнение 10).стоит отметить, что большинство соотношений импликации здесь легко доказать. однако существует нетривиальная импликационная связь.эта связь была обнаружена в ответе на сообщение mathoverflow, тесно связанное с предыдущим вопросом:предложение 1: из уравнения 4 следует уравнение 7доказательство: предположим, что g удовлетворяет уравнению 4, поэтомуоно справедливо для всех x,y ∈ g.в частности, когда y = xox, отсюда следует, что (xox) o (xox) = (xox) ox.применяя еще раз (1), можно заключить, что xox идемпотентен:теперь, заменив x на xox в (1) и воспользовавшись (2), получим (xox) oy = yo (xox).в частности, xox и yoy взаимозаменяемы:кроме того, дважды применив (1), получим (xox) o (yoy) = (yoy) ox = xoy.следовательно, (3) можно упростить до xoy = yox, что соответствует уравнению 7.формализацию описанного выше процесса аргументации можно найти в lean.однако стоит отметить, что общий вопрос о том, определяет ли один набор аксиом равенства другой набор аксиом равенства, неразрешим.поэтому ситуация здесь чем-то похожа на задачу «занятый бобер», то есть после определенного уровня сложности мы обязательно столкнемся с неразрешимыми проблемами, но прежде чем достичь этого порога, мы все еще надеемся обнаружить интересные проблемы и явления;диаграмма хасса, приведенная выше, не только утверждает отношения следования между перечисленными аксиомами равенства, но также утверждает отношения не-импликации между аксиомами.например, как показано на рисунке, из коммутативного аксиомного уравнения 7 не следует аксиома уравнения 4 (x + x) + y = y + x.чтобы доказать это, просто найдите пример примитивной группы, которая удовлетворяет коммутативной аксиоме (уравнение 7), но не удовлетворяет аксиоме (уравнение 4).например, в этом случае мы можем выбрать набор натуральных чисел n, операция которого равна xoy := x+y.в более общем плане диаграмма утверждает следующие отношения неимпликации, которые (вместе с уже отмеченными отношениями импликации) полностью описывают частично упорядоченный набор отношений импликации среди этих одиннадцати аксиом:здесь теренс тао предлагает читателям представить контрпримеры для завершения некоторых доказательств.самый трудный контрпример состоит в том, что уравнение 9 не может вывести уравнение 8.решение может быть найдено с использованием lean.кроме того, тао чжэсюань также предоставляет репозиторий github, который содержит бережливые доказательства всех вышеперечисленных отношений включения и антивключения.видно, что просто вычислить диаграмму хааса из 11 уравнений уже немного громоздко.проект, предложенный теренсом тао, представляет собой попытку расширить эту диаграмму хасса на несколько порядков, чтобы охватить более широкий диапазон наборов уравнений.предложенный им набор был ε, набор уравнений, использующий исходную групповую операцию o не более четырех раз, пока аксиомы рефлексивности и симметрии уравнений суммы не были переименованы.сюда входят одиннадцать уравнений, упомянутых выше, но их гораздо больше.напомним, что каталонское число c_n — это количество способов сформировать выражение с помощью бинарной операции o (применительно к n+1 переменным-заполнителям и для заданной строки из m переменных-заполнителей, число белла b_m — это количество способов, которыми эти переменные могут быть); присвоенные имена (которые можно переименовывать), что позволяет присваивать определенным заполнителям одно и то же имя.следовательно, без учета симметрии число уравнений, включающих не более четырех операций, равночисло уравнений, у которых левая и правая части совпадают, равноони эквивалентны рефлексивным аксиомам (уравнение 11).остальные 9118 уравнений появляются парами из-за симметрии уравнений, поэтому общий размер ε равен
тао чжэсюань сказал, что он еще не создал полный список таких личностей, но подозревает, что это можно легко сделать с помощью python.используя инструменты искусственного интеллекта, вы сможете сгенерировать большую часть необходимого кода.он сказал, что понятия не имеет, как будет выглядеть геометрия ε.будут ли большинство уравнений несравнимы друг с другом? будет ли она разделена на «сильные» и «слабые» аксиомы?теперь в разделе сообщений теренса тао есть десятки комментариев.заинтересованные читатели, тао чжэсюань также пригласил вас.
