अन्तर्जालस्य सर्वाधिकशक्तिशालिनः मस्तिष्कस्य पुरस्कारं प्रदाति टेरेन्स ताओ! एआइ मनुष्याः गणितीयसमस्याः विध्वंसयन्ति? वर्साय-नगरस्य नेटिजनाः गता: सन्ति
2024-09-29
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
सम्पादकः - एनियसः एतावत् निद्रालुः[नव प्रज्ञायाः परिचयः] ।अद्यैव ताओ झेक्सुआन् बहुसंख्यकनेटिजनानाम् गणित-उत्साहिनां च कृते एकं चुनौतीं प्रारब्धवान् यत् लोकप्रियगणित-उत्साहिणः, प्रमाण-सहायकाः, स्वचालित-सहायकाः, ए.आइ.
terence tao इत्यनेन आरब्धे "crowdsourcing" गणितसंशोधनपरियोजने भागं ग्रहीतुं इच्छति वा?एआइ-सहायतायुक्तं प्रमाणं गणितीयसंशोधनं अधिकाधिकं सम्भवं भवति
तेषु प्रत्येकं परियोजनायाः पक्षेभ्यः पर्याप्तं परिचितं भवति यत् परस्परं योगदानं प्रमाणीकरोति।परन्तु यदि भवान् बृहत्तर-परिमाणस्य गणितीय-संशोधन-परियोजनानां आयोजनं कर्तुम् इच्छति, विशेषतः सार्वजनिक-योगदान-सम्बद्धानां परियोजनानां आयोजनं कर्तुम् इच्छति तर्हि तत् बहु अधिकं कष्टप्रदम् अस्ति ।कारणं यत् सर्वेषां योगदानस्य सत्यापनम् कठिनम् अस्ति।२०२३ तमस्य वर्षस्य अन्ते टेरेन्स ताओ इत्यनेन घोषितं यत् बहुपदस्य फ्रेइमैन्-रुज्सा-अनुमानस्य प्रमाणं औपचारिकं कृतवती lean4 परियोजना सप्ताहत्रयानन्तरं सफला अभवत् (चित्रे नवीनतमं स्थितिः दृश्यते)गणितीयतर्कस्य एकस्मिन् भागे एकः त्रुटिः सम्पूर्णं परियोजनां विफलं कर्तुं शक्नोति इति अवगच्छन्तु ।अपि च, विशिष्टगणितपरियोजनायाः जटिलतां दृष्ट्वा स्नातकगणितशिक्षायुक्तानां जनसदस्यानां सार्थकं योगदानं दातुं अपेक्षा अवास्तविकम्।अस्मात् वयम् अपि ज्ञातुं शक्नुमः यत् गणितीयसंशोधनपरियोजनासु एआइ-उपकरणानाम् समावेशः अपि अत्यन्तं चुनौतीपूर्णः अस्ति ।यतो हि एआइ तर्कान् जनयितुं शक्नोति ये युक्तियुक्ताः प्रतीयन्ते परन्तु वास्तवतः कोऽपि अर्थः नास्ति, अतः एआइ-जनितभागं परियोजनायां योजयितुं पूर्वं अतिरिक्तसत्यापनस्य आवश्यकता भवतिसौभाग्येन, lean इत्यादीनि प्रमाणसहायतायुक्ताः भाषाः एतान् बाधान् दूरीकर्तुं सम्भाव्यमार्गान् प्रददति तथा च व्यावसायिकगणितज्ञानाम्, विस्तृतरूपेण जनसमूहस्य, एआइ-उपकरणानाम् च मध्ये सहकार्यं सक्षमं कुर्वन्तिएषः उपायः अस्य आधारेण आधारितः अस्ति यत् परियोजनाः मॉड्यूलररूपेण लघुभागेषु विभक्तुं शक्यन्ते येषां सम्पूर्णं परियोजनां न अवगत्य सम्पन्नं कर्तुं शक्यतेवर्तमान उदाहरणेषु मुख्यतया एतादृशाः परियोजनाः सन्ति ये विद्यमानगणितीयपरिणामानां औपचारिकीकरणं कुर्वन्ति (यथा मार्टनेन अद्यतने सिद्धस्य पीएफआर-अनुमानस्य औपचारिकीकरणं) ।एते औपचारिकताः मुख्यतया मानवयोगदातृभिः (व्यावसायिकगणितविदः, जनसामान्यस्य इच्छुकसदस्याः च समाविष्टाः) क्राउड्सोर्सिंग्-माध्यमेन क्रियन्ते ।तस्मिन् एव काले कार्यं पूर्णं कर्तुं अधिकस्वचालितसाधनानाम् परिचयस्य केचन उदयमानाः प्रयासाः अपि सन्ति, येषु पारम्परिकस्वचालितप्रमेयप्रमाणकाः अधिकानि आधुनिकाः एआइ-आधारितसाधनाः च सन्तिनूतनानां गणितीयसमस्यानां अन्वेषणं सम्भवं भवति
तथा,टेरेन्स ताओइदमपि मन्यते यत् एतस्य नूतनप्रतिमानस्य उपयोगः न केवलं विद्यमानगणितस्य औपचारिकीकरणाय, अपितु सर्वथा नूतनगणितस्य अन्वेषणार्थमपि कर्तुं शक्यते!पूर्वं सः तस्य उत्तराधिकारिणा सह ऑनलाइन-सहकार्यस्य "polymath" परियोजनायाः आयोजनं कृतवान्, यत् उत्तमं उदाहरणम् अस्ति ।परन्तु अस्मिन् परियोजनायां कार्यप्रवाहे प्रमाण-सहायकभाषा न समाविष्टा, योगदानस्य प्रबन्धनं सत्यापनञ्च मानवीयमॉडरेटर्-द्वारा कर्तव्यम् आसीत्, यत् अतीव समयग्राही आसीत्, एतेषां परियोजनानां अग्रे विस्तारं च सीमितं कृतवान्अधुना ताओ झेक्सुआन् आशास्ति यत् प्रमाणसहायकभाषां योजयित्वा एतत् अटङ्कं भङ्गयितुं शक्यते।तस्य विशेषतया रुचिः अस्ति यत् एतानि आधुनिकसाधनानाम् उपयोगेन गणितीयसमस्यानां वर्गस्य अन्वेषणं युगपत् कर्तुं शक्यते वा, न तु एकस्मिन् समये केवलं एकस्याः वा द्वयोः वा समस्यायोः विषये ध्यानं न दत्तम्सारतः, एषः उपायः पुनरावर्तनीयकार्यस्य कृते मॉड्यूलरः अस्ति, तथा च क्राउडसोर्सिंग् तथा स्वचालनसाधनं विशेषतया उपयोगी भवितुम् अर्हति यदि सर्वेषां योगदानानां कठोरसमन्वयनार्थं मञ्चः स्थापितः अस्तिएतादृशी गणितीयसमस्या पूर्वविधिनाम् उपयोगेन स्केल-करणीयं न स्यात् । यावत् भवन्तः बहुवर्षेभ्यः व्यक्तिगतपत्रैः सह एकैकं दत्तांशबिन्दुं शनैः शनैः अन्वेषयन्ति यावत् भवन्तः एतादृशसमस्यायाः विषये उचितं अन्तःकरणं न प्राप्नुवन्ति।तदतिरिक्तं, विशालः समस्यादत्तांशसमूहः भवति चेत् विभिन्नस्वचालनसाधनानाम् कार्यप्रदर्शनमूल्यांकनं कर्तुं तथा च भिन्नकार्यप्रवाहस्य कार्यक्षमतायाः तुलनायां सहायकं भवितुम् अर्हतिअस्मिन् वर्षे जुलैमासे पञ्चमः बिजी बीवर-सङ्ख्या ४७,१७६,८७० इति पुष्टिः अभवत् ।केचन पूर्वं क्राउड्सोर्सड् कम्प्यूटिङ्ग् परियोजनाः, यथा ग्रेट् इन्टरनेट् मेर्सेन् प्राइम सर्च (gimps), एतेषां परियोजनानां भावनायां सदृशाः सन्ति, यद्यपि ते अधिकपरम्परागतं कार्यप्रमाणतन्त्रस्य उपयोगं कुर्वन्ति , न तु सहायकभाषां सिद्धयन्तिटेरेन्स ताओ इत्यनेन उक्तं यत् गणितीयस्थानानां अन्वेषणं कुर्वतां क्राउड्सोर्सिंग् परियोजनानां अन्ये विद्यमानाः उदाहरणानि सन्ति वा, तथा च किमपि पाठं ज्ञातं यत् उपयोक्तुं शक्यते वा इति ज्ञातुं सः रुचिं लप्स्यते।ताओ झेक्सुआन् नूतनानि परियोजनानि प्रस्तावति
अस्य कृते ताओ स्वयमेव अस्य प्रतिमानस्य अधिकं परीक्षणार्थं परियोजनां प्रस्तावितवान् ।एषा परियोजना गतवर्षस्य mathoverflow प्रश्नात् प्रेरिता आसीत्।ततः शीघ्रमेव ताओ झेक्सुआन् स्वस्य मथस्टोडन् इत्यत्र तस्य विषये अधिकं चर्चां कृतवान् ।इयं समस्या सार्वभौमिकबीजगणितक्षेत्रस्य अस्ति तथा च मूलसमूहस्य (मैग्मा) सरलसमीकरणसिद्धान्तस्य मध्यमपरिमाणेन अन्वेषणं भवतिमूलसमूहः द्विचक्रीयक्रियाभिः सुसज्जितः समूहः अस्तिसमुच्चयः g.प्रारम्भे अस्मिन् o क्रियायाः अतिरिक्ताः स्वयंसिद्धाः न सन्ति, अतः मूलसमूहः एव तुल्यकालिकः सरलः संरचना अस्ति ।अवश्यं, अतिरिक्त-स्वयंसिद्धानि, यथा तादात्म्य-स्वयंसिद्धानि वा साहचर्य-स्वयंसिद्धानि वा योजयित्वा वयं समूहाः, अर्धसमूहाः, एकरूपाः वा इत्यादीनि अधिकपरिचितानि गणितीयवस्तूनि प्राप्तुं शक्नुमःअत्र अस्माकं रुचिः समतायाः (नित्य-रहित) स्वयंसिद्धेषु अस्ति । एते स्वयंसिद्धाः o क्रियाभ्यः निर्मितानाम् अभिव्यञ्जनानां समानतायाः विषये सन्ति तथा च g इत्यस्मिन् एकस्य वा अधिकस्य वा अज्ञातचरस्य विषये ।एतादृशानां स्वयंसिद्धानां द्वौ परिचितौ उदाहरणौ स्तः परिवर्तनीयनियमः xoy = yox तथा च साहचर्यनियमः (xoy) oz = xo (yoz) ।यत्र x, y, z मूलसमूहे g अज्ञातचराः सन्ति ।अपरपक्षे (वाम) तादात्म्य स्वयंसिद्धं eox = x अत्र समीकरणात्मकं स्वयंसिद्धं न मन्यते यतोहि तस्मिन् नित्यं e ∈ g समावेशितम् अस्ति । अस्मिन् अध्ययने नित्यं सम्बद्धाः एतादृशाः स्वयंसिद्धाः चर्चा न कृताः ।तदनन्तरं स्वेन आरब्धस्य शोधपरियोजनायाः चित्रणार्थं टेरेन्स् ताओ इत्यनेन आदिमसमूहानां विषये समानतास्वयंसिद्धानां एकादश उदाहरणानि प्रवर्तयितव्यानि ।एते समता स्वयंसिद्धाः समीकरणाः सन्ति येषु केवलं आदिमसमूहक्रियाः अज्ञातचराः च सन्ति—अतः, उदाहरणार्थं, समीकरण 7 परिवर्तनकारी स्वयंसिद्धं प्रतिनिधियति, यदा तु समीकरण 10 साहचर्यात्मकं स्वयंसिद्धं प्रतिनिधियति ।नित्यं स्वयंसिद्धं समीकरणम् १ सर्वाधिकं प्रबलं भवति, यतः तत् मूलसमूहस्य g अधिकतमं एकं तत्त्वं भवितुं प्रतिबन्धयति, तद्विपरीतम्, प्रतिबिम्बात्मकं स्वयंसिद्धं समीकरणम् ११ सर्वाधिकं दुर्बलं भवति, सर्वे मूलसमूहाः च एतत् स्वयंसिद्धं तृप्तयन्तितदनन्तरं एतेषां स्वयंसिद्धानां व्युत्पत्तिसम्बन्धं अन्वेष्टुं शक्नुमः : के स्वयंसिद्धाः केषां स्वयंसिद्धानां निष्कर्षं कर्तुं शक्नुवन्ति ?यथा, समीकरणम् १ अस्मिन् सूचौ अन्येषां सर्वेषां स्वयंसिद्धानां कृते गच्छति, येन समीकरणम् ११ भवति ।समीकरण 8 इत्यस्य उपयोगः समीकरण 9 इत्यस्य व्युत्पादनार्थं विशेषप्रकरणरूपेण कर्तुं शक्यते, यस्य उपयोगः क्रमेण समीकरण 10 इत्यस्य व्युत्पादनार्थं विशेषप्रकरणरूपेण कर्तुं शक्यते ।एतेषां स्वयंसिद्धानां मध्ये सम्पूर्णं व्युत्पत्तिसम्बन्धं निम्नलिखितहस्से-चित्रेण वर्णयितुं शक्यते ।एतत् परिणामं विशेषतया गणितस्य प्रश्नोत्तरजालस्थले mathoverflow इत्यत्र एकस्य प्रश्नस्य उत्तरं ददाति यत् नित्यं स्वयंसिद्धस्य (समीकरणम् १) तथा सहसाहित्यस्वयंसिद्धस्य (समीकरणम् १०) च मध्ये समीकरणात्मकाः स्वयंसिद्धाः सन्ति वा इति।अत्र अधिकांशः निहितार्थसम्बन्धाः सुलभाः इति ज्ञातव्यम् । तथापि अतुच्छः अभिप्रायसम्बन्धः अस्ति ।एषः सम्बन्धः पूर्वप्रश्नेन सह निकटतया सम्बद्धस्य mathoverflow पोस्ट् इत्यस्य उत्तरे प्राप्तः:प्रस्तावः १ : समीकरणम् ४ समीकरणम् ७ अभिप्रेतम्प्रमाणम् : g समीकरणं 4 पूरयति इति कल्पयतु, अतःसर्वेषां x,y ∈ g कृते धारयति ।विशेषतः यदा y = xox तदा (xox) o (xox) = (xox) ox इति अनुवर्तते।पुनः (1) इत्यस्य प्रयोगं कृत्वा xox idempotent इति निष्कर्षं कर्तुं शक्नुमः:अधुना (1) मध्ये x इत्यस्य स्थाने xox इत्यनेन (2) इत्यस्य उपयोगेन (xox) oy = yo (xox) प्राप्नुमः ।विशेषतः xox तथा yoy परस्परं विनिमययोग्यौ स्तः : १.ततश्च (१) द्विवारं प्रयोज्य (xox) ओ (योय) = (योय) ox = xoy प्राप्नुमः ।अतः (3) इत्यस्य सरलीकरणं xoy = yox इति कर्तुं शक्यते, यत् समीकरणम् 7 अस्ति ।उपर्युक्ततर्कप्रक्रियायाः औपचारिकीकरणं lean इत्यत्र प्राप्यते ।परन्तु एतत् ज्ञातव्यं यत् एकः समता स्वयंसिद्धसमूहः अन्यं समता स्वयंसिद्धसमूहं निर्धारयति वा इति निर्धारणस्य सामान्यः प्रश्नः अनिर्णयःअतः अत्रत्यः स्थितिः "व्यस्तबीवर"-आव्हानस्य किञ्चित् सदृशी अस्ति, अर्थात् जटिलतायाः किञ्चित् बिन्दुस्य अनन्तरं वयं अनिर्णयात्मकसमस्यानां सम्मुखीभवितुं निश्चिताः स्मः परन्तु एतां सीमां प्राप्तुं पूर्वं वयं अद्यापि रोचकसमस्यानां घटनानां च आविष्कारं कर्तुं आशास्महेउपरिष्टाद् हास्-चित्रं न केवलं सूचीकृतसमानता-स्वयंसिद्धानां मध्ये संलग्नसम्बन्धान् प्रतिपादयति, अपितु स्वयंसिद्धानां मध्ये अनिमित्तसम्बन्धान् अपि प्रतिपादयतियथा - चित्रे यथा दर्शितं तथा परिवर्तनकारी स्वयंसिद्धसमीकरणेन ७ समीकरणस्य ४ (x + x) + y = y + x इत्यस्य स्वयंसिद्धं न अभिप्रेतम् ।एतत् सिद्धयितुं केवलं एकस्य आदिमसमूहस्य उदाहरणं ज्ञातव्यं यत् परिवर्तनकारी स्वयंसिद्धं समीकरण 7 पूरयति परन्तु स्वयंसिद्धं समीकरण 4 न पूरयति ।यथा, अस्मिन् सन्दर्भे वयं प्राकृतिकसङ्ख्यासमूहं n चिन्वितुं शक्नुमः, यस्य ऑपरेशनः xoy := x+y अस्ति ।अधिकसामान्यतया, आरेखं निम्नलिखित-अनिमित्तसम्बन्धान् प्रतिपादयति, ये (पूर्वमेव उल्लेखितैः निहितार्थसम्बन्धैः सह) एतेषां एकादश स्वयंसिद्धानां मध्ये निहितार्थसम्बन्धानां आंशिकरूपेण क्रमबद्धसमूहस्य पूर्णतया वर्णनं कुर्वन्ति:अत्र ताओ झेक्सुआन् पाठकान् आमन्त्रयति यत् ते केचन प्रमाणानि पूर्णानि कर्तुं प्रतिउदाहरणानि प्रस्तावयन्तु।कठिनतमं प्रतिउदाहरणं ज्ञातुं शक्यते यत् समीकरणं ९ समीकरणं ८ निष्कर्षं कर्तुं न शक्नोति ।lean इत्यस्य उपयोगेन समाधानं दातुं शक्यते ।तदतिरिक्तं, tao zhexuan एकं github भण्डारं अपि प्रदाति यस्मिन् उपर्युक्तानां सर्वेषां समावेशस्य समावेशविरोधिनां च lean प्रमाणानि सन्ति ।द्रष्टुं शक्यते यत् केवलं ११ समीकरणानां हास्-चित्रस्य गणना पूर्वमेव किञ्चित् बोझिलम् अस्ति ।टेरेन्स ताओ इत्यनेन प्रस्ताविता परियोजना समीकरणसमूहानां विस्तृतपरिधिं आच्छादयितुं अस्य हास्-चित्रस्य परिमाणस्य अनेकक्रमैः विस्तारस्य प्रयासः अस्तिसः प्रस्तावितः समुच्चयः ε आसीत्, मूलसमूहक्रिया o अधिकतमं चतुर्वारं उपयुज्य समीकरणसमूहः, यावत् योगसमीकरणानां प्रतिबिम्बस्य समरूपतायाः च स्वयंसिद्धानां पुनः लेबलं न कृतम्अस्मिन् पूर्वोक्ताः एकादश समीकरणाः समाविष्टाः, परन्तु अधिकाः बहवः सन्ति ।स्मरणीयं यत् कातालानसङ्ख्या c_n द्विचक्रीयक्रिया o (n+1 स्थानधारकचरानाम् उपरि प्रयुक्ता) इत्यस्य उपयोगेन अभिव्यक्तिं निर्मातुं मार्गानाम् संख्या अस्ति तथा च m स्थानधारकचरानाम् एकं स्ट्रिंग् दत्तं चेत्, bell संख्या b_m इति number of ways these variables are assigned names (यत् पुनः लेबलं कर्तुं शक्यते), यत् कतिपयेभ्यः स्थानधारकेभ्यः समानं नाम नियुक्तं कर्तुं शक्नोति ।अतः समरूपतायाः अवहेलना कृत्वा अधिकतमं चत्वारि क्रियाः सम्मिलिताः समीकरणानां संख्या भवतिवामदक्षिणपार्श्वयोः समानानां समीकरणानां संख्या साएते प्रतिबिम्बात्मकं स्वयंसिद्धानां तुल्यम् (समीकरणम् ११) ।शेषाः ९११८ समीकरणाः समीकरणानां समरूपतायाः कारणात् युग्मरूपेण दृश्यन्ते, अतः ε इत्यस्य कुलपरिमाणं भवति
ताओ झेक्सुआन् इत्यनेन उक्तं यत् सः अद्यापि एतादृशानां परिचयानां सम्पूर्णसूचीं न जनितवान्, परन्तु पायथन् इत्यस्य उपयोगेन एतत् सुलभतया कर्तुं शक्यते इति सः शङ्कते ।ai उपकरणानां उपयोगेन भवन्तः अधिकांशं आवश्यकं कोडं जनयितुं शक्नुवन्ति ।सः अवदत् यत् ε इत्यस्य ज्यामितिः कीदृशी भविष्यति इति तस्य कल्पना नास्ति।किं अधिकांशसमीकरणानि परस्परं अतुलनीयाः भविष्यन्ति ? किं तत् "बलवन्तः" स्वयंसिद्धेषु "दुर्बल" स्वयंसिद्धेषु च विभक्तं भविष्यति ?अधुना टेरेन्स ताओ इत्यस्य सन्देशक्षेत्रे दर्जनशः टिप्पण्याः सन्ति ।इच्छुकाः पाठकाः ताओ झेक्सुआन् इत्यनेन अपि भवद्भ्यः आमन्त्रणं कृतम् अस्ति।
