ο terence tao προσφέρει μια ανταμοιβή για τον πιο ισχυρό εγκέφαλο στο διαδίκτυο! οι άνθρωποι με τεχνητή νοημοσύνη ανατρέπουν μαθηματικά προβλήματα; οι χρήστες του διαδικτύου των βερσαλλιών έχουν φύγει
2024-09-29
한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina
επιμέλεια: αινείας τόσο νυσταγμένος[εισαγωγή στη νέα σοφία]πρόσφατα, ο tao zhexuan ξεκίνησε μια πρόκληση για την πλειοψηφία των χρηστών του διαδικτύου και των λάτρεις των μαθηματικών: μπορούν οι δημοφιλείς λάτρεις των μαθηματικών, οι βοηθοί απόδειξης, οι αυτοματοποιημένοι βοηθοί και η τεχνητή νοημοσύνη να ενώσουν τις δυνάμεις τους για να αποδείξουν μαθηματικά προβλήματα που εκτείνονται κατά πολλές τάξεις μεγέθους;
θέλετε να συμμετάσχετε στο ερευνητικό πρόγραμμα μαθηματικών «πληθυσμιακής προέλευσης» που ξεκίνησε ο terence tao;η μαθηματική έρευνα απόδειξης με τη βοήθεια ai γίνεται όλο και πιο εφικτή
καθένας από αυτούς είναι αρκετά εξοικειωμένος με πτυχές του έργου ώστε να επικυρώσει τις συνεισφορές του άλλου.αλλά αν θέλετε να οργανώσετε μαθηματικά ερευνητικά έργα μεγαλύτερης κλίμακας, ειδικά έργα που περιλαμβάνουν δημόσιες συνεισφορές, είναι πολύ πιο ενοχλητικό.ο λόγος είναι ότι είναι δύσκολο να επαληθευτεί η συνεισφορά όλων.στα τέλη του 2023, ο terence tao ανακοίνωσε ότι το έργο lean4, το οποίο επισημοποίησε την απόδειξη της πολυωνυμικής εικασίας freiman-ruzsa, ήταν επιτυχές μετά από τρεις εβδομάδες (η εικόνα δείχνει την πιο πρόσφατη κατάσταση)λάβετε υπόψη ότι ένα μόνο λάθος σε ένα μέρος ενός μαθηματικού επιχειρήματος μπορεί να προκαλέσει την αποτυχία ολόκληρου του έργου.επιπλέον, δεδομένης της πολυπλοκότητας ενός τυπικού μαθηματικού έργου, δεν είναι ρεαλιστικό να περιμένουμε από μέλη του κοινού με προπτυχιακή εκπαίδευση στα μαθηματικά να συνεισφέρουν ουσιαστικά.από αυτό μπορούμε επίσης να γνωρίζουμε ότι η ενσωμάτωση εργαλείων ai σε μαθηματικά ερευνητικά έργα είναι επίσης εξαιρετικά δύσκολη.επειδή η τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να δημιουργήσει επιχειρήματα που φαίνονται λογικά αλλά στην πραγματικότητα δεν έχουν νόημα, απαιτείται πρόσθετη επαλήθευση προτού το τμήμα που δημιουργείται από την τεχνητή νοημοσύνη μπορεί να προστεθεί στο έργο.ευτυχώς, οι γλώσσες που υποστηρίζονται από απόδειξη, όπως η lean, προσφέρουν πιθανούς τρόπους για να ξεπεραστούν αυτά τα εμπόδια και να επιτρέψουν τη συνεργασία μεταξύ επαγγελματιών μαθηματικών, του κοινού γενικότερα και εργαλείων τεχνητής νοημοσύνης.αυτή η προσέγγιση βασίζεται στην προϋπόθεση ότι τα έργα μπορούν να αναλυθούν με αρθρωτό τρόπο σε μικρότερα μέρη που μπορούν να ολοκληρωθούν χωρίς να χρειάζεται να κατανοήσουμε ολόκληρο το έργο.τα τρέχοντα παραδείγματα περιλαμβάνουν κυρίως έργα που επισημοποιούν υπάρχοντα μαθηματικά αποτελέσματα (όπως η επισημοποίηση της εικασίας pfr που αποδείχθηκε πρόσφατα από τον marton).αυτές οι επισημοποιήσεις γίνονται κυρίως μέσω crowdsourcing από ανθρώπους που συνεισφέρουν (συμπεριλαμβανομένων επαγγελματιών μαθηματικών και ενδιαφερόμενων μελών του κοινού).ταυτόχρονα, υπάρχουν επίσης κάποιες αναδυόμενες προσπάθειες εισαγωγής περισσότερων αυτοματοποιημένων εργαλείων για την ολοκλήρωση της εργασίας, συμπεριλαμβανομένων των παραδοσιακών αυτόματων δοκιμαστικών θεωρημάτων και πιο σύγχρονων εργαλείων που βασίζονται στην τεχνητή νοημοσύνη.γίνεται δυνατή η εξερεύνηση νέων μαθηματικών προβλημάτων
και,τέρενς τάοπιστεύεται επίσης ότι αυτό το νέο παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για να επισημοποιήσει τα υπάρχοντα μαθηματικά, αλλά και για να εξερευνήσει εντελώς νέα μαθηματικά!στο παρελθόν, ο ίδιος και ο διάδοχός του οργάνωσαν μια διαδικτυακή συνεργασία «polymath», που είναι ένα καλό παράδειγμα.ωστόσο, αυτό το έργο δεν ενσωμάτωσε μια βοηθητική γλώσσα απόδειξης στη ροή εργασίας και οι συνεισφορές έπρεπε να διαχειρίζονται και να επαληθεύονται από ανθρώπινους συντονιστές, κάτι που ήταν πολύ χρονοβόρο και περιόρισε την περαιτέρω επέκταση αυτών των έργων.τώρα, ο tao zhexuan ελπίζει ότι η προσθήκη αποδεικτικής βοηθητικής γλώσσας μπορεί να σπάσει αυτό το στενό.ενδιαφέρεται ιδιαίτερα για το αν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν αυτά τα σύγχρονα εργαλεία για να εξερευνήσουν μια κατηγορία μαθηματικών προβλημάτων ταυτόχρονα, αντί να εστιάσουμε σε ένα ή δύο προβλήματα κάθε φορά.στην ουσία, αυτή η προσέγγιση είναι αρθρωτή για επαναλαμβανόμενες εργασίες και τα εργαλεία crowdsourcing και αυτοματισμού μπορούν να είναι ιδιαίτερα χρήσιμα εάν υπάρχει μια πλατφόρμα για τον αυστηρό συντονισμό όλων των συνεισφορών.αυτός ο τύπος μαθηματικού προβλήματος δεν θα μπορούσε να κλιμακωθεί χρησιμοποιώντας προηγούμενες μεθόδους. εκτός κι αν εξερευνήσετε σιγά-σιγά ένα σημείο δεδομένων τη φορά με μεμονωμένες εργασίες για πολλά χρόνια, μέχρι να αποκτήσετε μια λογική διαίσθηση σχετικά με αυτό το είδος προβλήματος.επιπλέον, η ύπαρξη ενός μεγάλου συνόλου δεδομένων προβλημάτων μπορεί να βοηθήσει στην πραγματοποίηση αξιολογήσεων απόδοσης διαφόρων εργαλείων αυτοματισμού και στη σύγκριση της αποτελεσματικότητας διαφορετικών ροών εργασίας.τον ιούλιο του τρέχοντος έτους, ο πέμπτος αριθμός busy beaver επιβεβαιώθηκε ότι ήταν 47.176.870.μερικά προηγούμενα έργα υπολογιστών, όπως το great internet mersenne prime search (gimps), είναι παρόμοια στο πνεύμα με αυτά τα έργα, αν και χρησιμοποιούν έναν πιο παραδοσιακό μηχανισμό απόδειξης εργασίας, αντί να αποδεικνύουν μια βοηθητική γλώσσα.ο τέρενς τάο είπε ότι θα ενδιαφερόταν να μάθει εάν υπάρχουν άλλα παραδείγματα έργων crowdsourcing που εξερευνούν μαθηματικούς χώρους και αν υπάρχουν κάποια διδάγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν.το tao zhexuan προτείνει νέα έργα
για το σκοπό αυτό, ο ίδιος ο tao πρότεινε ένα έργο για να δοκιμάσει περαιτέρω αυτό το παράδειγμα.αυτό το έργο εμπνεύστηκε από την περσινή ερώτηση mathoverflow.αμέσως μετά, ο tao zhexuan το συζήτησε περαιτέρω στο mathstodon του.αυτό το πρόβλημα ανήκει στο πεδίο της καθολικής άλγεβρας και περιλαμβάνει μια μέσης κλίμακας εξερεύνηση της θεωρίας των απλών εξισώσεων της αρχικής ομάδας (μάγμα).η αρχική ομάδα είναι μια ομάδα εξοπλισμένη με δυαδικές λειτουργίεςτο σετ g.αρχικά, αυτή η πράξη o δεν έχει επιπρόσθετα αξιώματα, επομένως η ίδια η αρχική ομάδα είναι μια σχετικά απλή δομή.φυσικά, προσθέτοντας επιπλέον αξιώματα, όπως αξιώματα ταυτότητας ή αξιώματα συσχέτισης, μπορούμε να αποκτήσουμε πιο γνωστά μαθηματικά αντικείμενα όπως ομάδες, ημιομάδες ή μονοειδείς.εδώ μας ενδιαφέρουν τα (σταθερά-ελεύθερα) αξιώματα της ισότητας. αυτά τα αξιώματα αφορούν την ισότητα των παραστάσεων που κατασκευάζονται από τις πράξεις o και μία ή περισσότερες άγνωστες μεταβλητές στο g.δύο γνωστά παραδείγματα τέτοιων αξιωμάτων είναι ο μεταθετικός νόμος xoy = yox και ο συνειρμικός νόμος (xoy) oz = xo (yoz).όπου x, y, z είναι άγνωστες μεταβλητές στην αρχική ομάδα g.από την άλλη πλευρά, το (αριστερό) αξίωμα ταυτότητας eox = x δεν θεωρείται εξισωτικό αξίωμα εδώ επειδή περιλαμβάνει μια σταθερά e ∈ g. τέτοια αξιώματα που περιλαμβάνουν σταθερές δεν συζητούνται σε αυτή τη μελέτη.στη συνέχεια, για να επεξηγήσει το ερευνητικό πρόγραμμα που ξεκίνησε, ο terence tao εισήγαγε έντεκα παραδείγματα αξιωμάτων ισότητας για πρωτόγονες ομάδες.αυτά τα αξιώματα ισότητας είναι εξισώσεις που περιλαμβάνουν μόνο πράξεις πρωταρχικής ομάδας και άγνωστες μεταβλητές—έτσι, για παράδειγμα, η εξίσωση 7 αντιπροσωπεύει το ανταλλακτική αξίωμα, ενώ η εξίσωση 10 αντιπροσωπεύει το συνειρμικό αξίωμα.το σταθερό αξίωμα η εξίσωση 1 είναι η ισχυρότερη, επειδή περιορίζει την αρχική ομάδα g να έχει το πολύ ένα στοιχείο, το αντανακλαστικό αξίωμα η εξίσωση 11 είναι το πιο αδύναμο, και όλες οι αρχικές ομάδες ικανοποιούν αυτό το αξίωμα.στη συνέχεια, μπορούμε να εξερευνήσουμε τη σχέση παραγωγής μεταξύ αυτών των αξιωμάτων: ποια αξιώματα μπορούν να συναγάγουν ποια αξιώματα;για παράδειγμα, η εξίσωση 1 οδηγεί σε όλα τα άλλα αξιώματα αυτής της λίστας, η οποία με τη σειρά της οδηγεί στην εξίσωση 11.η εξίσωση 8 μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ειδική περίπτωση για την εξαγωγή της εξίσωσης 9, η οποία με τη σειρά της μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ειδική περίπτωση για την εξαγωγή της εξίσωσης 10.η πλήρης σχέση παραγωγής μεταξύ αυτών των αξιωμάτων μπορεί να περιγραφεί από το ακόλουθο διάγραμμα hasse:αυτό το αποτέλεσμα απαντά συγκεκριμένα σε μια ερώτηση στον ιστότοπο μαθηματικών q&a mathoverflow: εάν υπάρχουν αξιώματα εξίσωσης μεταξύ του αξιώματος σταθεράς (εξίσωση 1) και του αξιώματος συσχέτισης (εξίσωση 10).αξίζει να σημειωθεί ότι οι περισσότερες από τις υπονοούμενες σχέσεις εδώ είναι εύκολο να αποδειχθούν. ωστόσο, υπάρχει μια μη τετριμμένη σχέση υπονοούμενων.αυτή η σχέση βρέθηκε σε μια απάντηση σε μια δημοσίευση του mathoverflow που σχετίζεται στενά με την προηγούμενη ερώτηση:πρόταση 1: η εξίσωση 4 συνεπάγεται την εξίσωση 7απόδειξη: ας υποθέσουμε ότι το g ικανοποιεί την εξίσωση 4, επομένωςισχύει για όλα τα x,y ∈ g.ειδικότερα, όταν y = xox, προκύπτει ότι (xox) o (xox) = (xox) ox.εφαρμόζοντας ξανά το (1), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το xox είναι ανίκανο:τώρα, αντικαθιστώντας το x με xox στο (1) και χρησιμοποιώντας το (2), παίρνουμε (xox) oy = yo (xox).συγκεκριμένα, το xox και το yoy είναι εναλλάξιμα:επιπλέον, εφαρμόζοντας το (1) δύο φορές, παίρνουμε (xox) o (yoy) = (yoy) ox = xoy.επομένως, το (3) μπορεί να απλοποιηθεί σε xoy = yox, που είναι η εξίσωση 7.η επισημοποίηση της παραπάνω διαδικασίας επιχειρηματολογίας βρίσκεται στο lean.αξίζει να σημειωθεί, ωστόσο, ότι το γενικό ερώτημα του προσδιορισμού του εάν ένα σύνολο αξιωμάτων ισότητας καθορίζει ένα άλλο σύνολο αξιωμάτων ισότητας είναι αδιευκρίνιστο.ως εκ τούτου, η κατάσταση εδώ είναι κάπως παρόμοια με την πρόκληση "busy beaver", δηλαδή, μετά από ένα ορισμένο σημείο πολυπλοκότητας, είναι βέβαιο ότι θα συναντήσουμε αναποφάσιστα προβλήματα, αλλά πριν φτάσουμε σε αυτό το κατώφλι, ελπίζουμε να ανακαλύψουμε ενδιαφέροντα προβλήματα και φαινόμενα.το παραπάνω διάγραμμα hass όχι μόνο επιβεβαιώνει τις συνεπακόλουθες σχέσεις μεταξύ των αναφερόμενων αξιωμάτων ισότητας, αλλά βεβαιώνει επίσης τις σχέσεις μη συνεπαγόμενης μεταξύ των αξιωμάτων.για παράδειγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα, η μεταθετική εξίσωση αξιώματος 7 δεν συνεπάγεται το αξίωμα της εξίσωσης 4 (x + x) + y = y + x.για να το αποδείξετε αυτό, απλώς βρείτε ένα παράδειγμα μιας πρωτόγονης ομάδας που ικανοποιεί την εξίσωση 7 του αντισταθμιστικού αξιώματος αλλά δεν ικανοποιεί την εξίσωση αξιώματος 4.για παράδειγμα, σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να επιλέξουμε το σύνολο φυσικών αριθμών n, του οποίου η λειτουργία είναι xoy := x+y.γενικότερα, το διάγραμμα βεβαιώνει τις ακόλουθες μη συνεπαγόμενες σχέσεις, οι οποίες (μαζί με τις σχέσεις υπονοούμενων που έχουν ήδη σημειωθεί) περιγράφουν πλήρως το μερικώς διατεταγμένο σύνολο σχέσεων υπονοούμενων μεταξύ αυτών των έντεκα αξιωμάτων:εδώ, ο tao zhexuan προσκαλεί τους αναγνώστες να προτείνουν αντιπαραδείγματα για να συμπληρώσουν μερικές από τις αποδείξεις.το πιο δύσκολο αντιπαράδειγμα να βρεθεί είναι ότι η εξίσωση 9 δεν μπορεί να συμπεράνει την εξίσωση 8.μια λύση μπορεί να δοθεί χρησιμοποιώντας lean.επιπλέον, το tao zhexuan παρέχει επίσης ένα αποθετήριο github που περιέχει lean αποδείξεις όλων των παραπάνω σχέσεων συμπερίληψης και κατά της συμπερίληψης.μπορεί να φανεί ότι και μόνο ο υπολογισμός του διαγράμματος haas των 11 εξισώσεων είναι ήδη λίγο περίπλοκος.το έργο που προτείνεται από τον terence tao είναι μια προσπάθεια επέκτασης αυτού του διαγράμματος hass κατά πολλές τάξεις μεγέθους για να καλύψει ένα ευρύτερο φάσμα συνόλων εξισώσεων.το σύνολο που πρότεινε ήταν ε, το σύνολο των εξισώσεων που χρησιμοποιούν την αρχική ομαδική πράξη o το πολύ τέσσερις φορές, έως ότου επισημανθούν εκ νέου τα αξιώματα της ανακλαστικότητας και της συμμετρίας των εξισώσεων αθροίσματος.αυτό περιλαμβάνει τις έντεκα εξισώσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω, αλλά υπάρχουν πολλές περισσότερες.θυμηθείτε ότι ο καταλανικός αριθμός c_n είναι ο αριθμός των τρόπων για να σχηματίσετε μια παράσταση χρησιμοποιώντας τη δυαδική πράξη o (εφαρμόζεται σε n+1 μεταβλητές κράτησης θέσης και δεδομένου ότι μια σειρά από m μεταβλητές κράτησης θέσης, ο αριθμός κουδουνιού b_m είναι αριθμός τρόπων που αυτές οι μεταβλητές είναι). εκχωρημένα ονόματα (τα οποία μπορούν να επισημανθούν εκ νέου), γεγονός που επιτρέπει σε ορισμένα κράτη μέλη να εκχωρηθεί το ίδιο όνομα.επομένως, αγνοώντας τη συμμετρία, ο αριθμός των εξισώσεων που περιλαμβάνουν το πολύ τέσσερις πράξεις είναιο αριθμός των εξισώσεων των οποίων η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ίδιες είναιαυτά είναι ισοδύναμα με τα αντανακλαστικά αξιώματα (εξίσωση 11).οι υπόλοιπες 9118 εξισώσεις εμφανίζονται σε ζεύγη λόγω της συμμετρίας των εξισώσεων, άρα το συνολικό μέγεθος του ε είναι
ο tao zhexuan είπε ότι δεν έχει δημιουργήσει ακόμη μια πλήρη λίστα τέτοιων ταυτοτήτων, αλλά υποψιάζεται ότι μπορεί να γίνει εύκολα χρησιμοποιώντας python.χρησιμοποιώντας εργαλεία ai, θα πρέπει να μπορείτε να δημιουργήσετε το μεγαλύτερο μέρος του απαιτούμενου κώδικα.είπε ότι δεν είχε ιδέα πώς θα έμοιαζε η γεωμετρία του ε.οι περισσότερες εξισώσεις θα είναι ασύγκριτες μεταξύ τους; θα χωριστεί σε «ισχυρά» αξιώματα και «αδύναμα» αξιώματα;τώρα, η περιοχή μηνυμάτων του terence tao έχει δεκάδες σχόλια.ενδιαφερόμενοι αναγνώστες, ο tao zhexuan σας απηύθυνε επίσης μια πρόσκληση.
