समाचारं

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

मशीन हृदय रिपोर्ट

सम्पादकः जियाकी

आकृतिः कठिना अवगन्तुं शक्नोति, परन्तु अन्यदृष्ट्या पश्यति चेत् भिन्नं भवितुम् अर्हति ।

गणितं शिक्षमाणाः वयं प्रायः यत् ज्ञानं शिक्षेम तस्य कठिनतायाः अमूर्ततायाः च कारणेन कुण्ठिताः भवेम परन्तु कदाचित् केवलं दृष्टिकोणं परिवर्त्य समस्यायाः सरलं सहजं च समाधानं प्राप्तुं शक्नुमः यथा, यदा वयं बाल्यकाले वर्गयोग्यस्य (a+b)2 इति सूत्रं शिक्षमाणाः आसन् तदा वयं केवलं न अवगच्छामः यत् एतत् a2+2ab+b2 इत्यस्य समं किमर्थम् अस्ति पुस्तकं च शिक्षकः अस्मान् एवं स्मर्तुं पृष्टवान् यावत् एकस्मिन् दिने वयं पश्यामः Got this animated picture:

अस्माकं मनसि सहसा प्रभातम् अभवत् यत् वयं ज्यामितीयदृष्ट्या अवगन्तुं शक्नुमः!

अधुना, पुनः एषः बोधस्य भावः भवति: एकं अऋणात्मकं आकृतिं तत्सम्बद्धे निर्देशिते आलेखे समतुल्यरूपेण परिवर्तयितुं शक्यते!

यथा अधोलिखिते चित्रे दर्शितं, वामभागे स्थितं 3×3-मात्रिकं वस्तुतः दक्षिणभागे त्रीणि नोड्स्-युक्तं निर्देशितं आलेखरूपेण समतुल्यरूपेण प्रतिनिधित्वं कर्तुं शक्यते, तथा च एतत् प्रतिनिधित्वं आकृति-आलेख-सिद्धान्तयोः कृते अतीव सहायकं भवति

एतत् उदाहरणं गणितस्य सर्वेषां कृते सुलभं कर्तुं प्रतिबद्धस्य गणितज्ञस्य तिवादर डङ्कायाः ​​कृते आगतं अस्ति । स्वघोषितः "अराजकः भद्रः" इति गणितज्ञः मैट्रिक्स-ग्राफयोः एतत् समतुल्यतां तेषां उपयोगानाञ्च ट्वीट्-ब्लॉग्-पोस्ट्-श्रृङ्खलायां सजीवरूपेण परिचयितवान् एतावता एते ट्वीट् २० लक्षाधिकवारं पठिताः, ३२०० तः अधिकाः पुनः ट्वीट्, ९१०० प्रियाः च प्राप्ताः ।

मैट्रिक्सस्य निर्देशितलेखानां च संयोजकता

यथा उपरि उदाहरणे दर्शितं यत् यदि वयं प्रत्येकं पङ्क्तिं नोडरूपेण व्यवहरामः तर्हि प्रत्येकं तत्त्वं निर्देशितं भारितं च धारं रूपेण प्रतिनिधितुं शक्यते । अवश्यं 0 तत्त्वानि उपेक्षितुं शक्यन्ते । यदि तत्त्वं i पङ्क्तौ j स्तम्भे च स्थितं भवति तर्हि सः नोड् i तः नोड् j पर्यन्तं धारस्य अनुरूपः भवति ।

प्रथमदृष्ट्या एतत् जटिलं दृश्यते, परन्तु वयं एकं नोड् अवलोक्य आरभुं शक्नुमः ।

यथा चित्रे दर्शितं, अस्य 3×3-मात्रिकायाः ​​कृते, पङ्क्तिः 1 सर्वोच्च-नोड् (अत्र वयं नोड् 1 इति वदामः) अनुरूपं भवति, यस्मिन् 3 तत्त्वानि सन्ति किन्तु तेषु एकः 0 अस्ति, अतः नोडः द्वौ पार्श्वौ बहिः विस्तारयति पीतधारः (१,१) इत्यत्र ०.५ इति तत्त्वस्य प्रतिनिधित्वं करोति, अतः ०.५ भारेन स्वयमेव सूचयन् निर्देशितः धारः अस्ति । तथैव नीलधारः सः धारः यः नोड् २ प्रति सूचयति, यस्य भारः १ भवति ।

एवं प्रकारेण वयं विश्लेषणं कर्तुं शक्नुमः यत् मैट्रिक्सस्य i-th स्तम्भः i-नोड् प्रति सूचयन्तः सर्वेषां किनारेषु सङ्गच्छते ।

अस्य तुल्यप्रतिपादनस्य किं प्रयोजनम् ?

अऋणात्मकमात्रिकाणां निर्देशितलेखानां च मध्ये एतत् समतुल्यता न केवलं अस्मान् मैट्रिक्सं तेषां कार्याणि च अधिकतया अवगन्तुं साहाय्यं कर्तुं शक्नोति, अपितु क्रमेण केषाञ्चन गणनाप्रक्रियाणां सरलीकरणे अपि सहायकं भवितुम् अर्हति, एतत् अस्मान् नूतनदृष्ट्या आलेखान् अवगन्तुं अपि साहाय्यं कर्तुं शक्नोति

यथा, आलेखस्य शक्तयः आलेखे चलनानां अनुरूपाः भवन्ति ।

यथा उपरि चित्रे दर्शितं, n×n वर्गमात्रिकायाः ​​A इत्यस्य k-तम-शक्तेः कृते प्रत्येकस्य तत्त्वस्य योगप्रक्रियायां सर्वाणि सम्भाव्य-k-चरण-पदयात्राः समाविष्टाः भविष्यन्ति

यथा, उपरि 3×3 मैट्रिक्सस्य वर्गीकरणं कर्तुम् इच्छामः इति वदामः ।

यदि matrix multiplication इत्यस्य उपयोगं कुर्मः तर्हि अस्माभिः तस्य गणना एतादृशी करणीयम् ।

ऑपरेशन परिणामस्य प्रथमतत्त्वस्य कृते वयं परिणामं = 0.5×0.5+1×0.2+0×1.8 = 0.45 प्राप्तुं शक्नुमः । अन्ते वयं सम्पूर्णं परिणामं प्राप्तुं शक्नुमः यथा :

परन्तु यदि भवान् उपरिष्टात् ग्राफ् चलनपद्धतिं उपयुङ्क्ते तर्हि मार्गं गत्वा परिणामं प्राप्तुं शक्नोति । तथैव परिणाममात्रिकायाः ​​प्रथमतत्त्वस्य कृते a_{1,l}→a_{l,1} अनुरूपाः सर्वेषां २-चरणपदमार्गाणां सारांशः आवश्यकः ।

परन्तु यदि एषः निर्देशितः आलेखः मार्कोव-शृङ्खलायाः स्थितिं प्रतिनिधियति तर्हि तस्याः संक्रमणसंभाव्यतामात्रिकायाः ​​वर्गः मूलतः २ चरणानां अनन्तरं श्रृङ्खलायाः निश्चितावस्थां प्राप्तुं संभावनां प्रतिनिधियति

न केवलं, आलेखरूपेण आलेखरूपेण प्रतिनिधित्वं कृत्वा अऋणात्मकमात्रिकाणां संरचनायाः विषये अपि अन्वेषणं दातुं शक्यते । एतत् कर्तुं डङ्का अवदत् यत् अस्माभिः प्रथमं "दृढतया सम्बद्धानां घटकानां" अवधारणा अवगन्तुं आवश्यकम्।

दृढतया सम्बद्धः घटकः

दृढतया सम्बद्धः घटकः किम् ? निर्देशितस्य आलेखस्य कृते यदि आलेखे अन्यः प्रत्येकं नोड् प्रत्येकं नोड् तः प्राप्तुं शक्यते तर्हि वयं वदामः यत् आलेखः दृढतया सम्बद्धः अस्ति । यथा अधः दर्शितम् ।

दृढतया सम्बद्धः घटकः निर्देशिते आलेखे भागं/उपग्राफं निर्दिशति यत् दृढं संयोजकं प्राप्तुं शक्नोति । यथा अधोलिखिते चित्रे दर्शितं वामदक्षिणयोः दृढतया सम्बद्धः घटकः अस्ति, मध्ये श्वेतधारः तु कस्यचित् दृढतया संबद्धस्य घटकस्य न भवति

अधोलिखिते चित्रे अन्यत् उदाहरणं दृश्यते, यत्र पीतः भागः दृढतया सम्बद्धः घटकः अस्ति :

दृढतया सम्बद्धस्य आलेखस्य अनुरूपं आकृतिः अपरिवर्तनीयः आकृतिः भवति, यदा तु अऋणात्मकमात्रिकायां अन्ये सर्वे आकृतिः न्यूनीकरणीयमात्रिकाः भवन्ति

दङ्का उदाहरणेन व्याख्यायते। (व्याख्यायाः सरलतायै उदाहरणे सर्वे भाराः एककभाराः सन्ति, परन्तु व्यवहारे एते भारमूल्याः केचन अऋणात्मकाः मूल्याः भवितुम् अर्हन्ति ।)

तदनन्तरं, अयं आलेखः, यस्मिन् दृढतया सम्बद्धाः घटकाः सन्ति, परन्तु स्वयं दृढतया सम्बद्धाः न सन्ति, तत् तत्सम्बद्धे आकृतिरूपेण परिणमति :

एषा च आकृतिः न्यूनीकरणीयः आकृतिः अस्ति।

मुख्यविकर्णे उपमात्रिकाद्वयं क्रमशः दृढतया संयोजितघटकद्वयं प्रतिनिधियति इति दृश्यते, यदा तु उपरि दक्षिणभागे उपमात्रिका प्रथमदृढसंबद्धघटकात् द्वितीयं दृढतया संबद्धघटकपर्यन्तं धारं प्रतिनिधियति, अधः वामे स्थितं च धारं प्रतिनिधियति 2nd दृढतया सम्बद्धघटकात् 1st दृढतया संबद्धघटकपर्यन्तं धारं प्रतिनिधियति (यतो हि तादृशः धारः नास्ति, सर्वं 0 अस्ति) ।

खण्डमात्रिकलेखनस्य एतत् रूपं Frobenius normal form इति कथ्यते ।

अतः, वयं स्वाभाविकतया पृच्छामः यत् किं वयं कस्यापि अ-ऋणात्मक-मात्रिकायाः ​​फ्रोबेनियस-कैनोनिकल-मात्रिकायां परिवर्तयितुं शक्नुमः?

अऋणात्मकमात्रिकायाः ​​प्रतिनिधित्वार्थं निर्देशितलेखस्य उपयोगेन वयं सहजतया द्रष्टुं शक्नुमः यत् उत्तरं हाँ इति, यतः अऋणात्मकमात्रिकायाः ​​प्रतिनिधित्वं कुर्वन् कोऽपि निर्देशितः आलेखः परस्परं सम्बद्धानां दृढतया सम्बद्धानां घटकानां रूपेण प्रतिनिधित्वं कर्तुं शक्यते प्रक्रिया अतीव सरलम् अस्ति : १.

1. अऋणात्मकमात्रिकाणां कृते तदनुरूपनिर्देशितलेखानां निर्माणं कुर्वन्तु;
2. दृढतया सम्बद्धान् घटकान् अन्वेष्टुम्;
3. प्रत्येकं नोड् लेबलं कर्तुं उत्तमं मार्गं अन्वेष्टुम्।

त्वं च कृताः !

Frobenius मानकरूपं प्राप्तुं आलेखानां उपयोगं कुर्वन्तु

अतः, एषः कः उत्तमः उपायः ?

उपर्युक्तस्य उदाहरणस्य आधारेण प्रक्रियां अवलोकयामः ।

प्रथमं व्यक्तिगतरूपेण दृढतया सम्बद्धाः घटकाः एकस्मिन् वस्तुनि संलयिताः भवन्ति, यथा अधोलिखिते चित्रे दर्शितम् । अस्मिन् समये वयं प्रत्येकं दृढतया सम्बद्धं घटकं कृष्णपेटीरूपेण व्यवहारं कर्तुं शक्नुमः - तस्य आन्तरिकसंरचनायाः चिन्ता न भवति, केवलं तस्य बाह्यसंयोजनानां एव चिन्ता भवति ।

ततः अस्मिन् नूतने आलेखे अस्माभिः तानि घटकानि अन्वेष्टव्यानि येषां केवलं बहिर्गच्छन्तः धाराः सन्ति परन्तु आगच्छन्तः किनारेः नास्ति । अस्मिन् विशिष्टे उदाहरणे एकमेव अस्ति, यस्य वयं 0 इति संख्यां लेबलं कुर्मः:

अग्रिमः सोपानः अधिकं कष्टप्रदः अस्ति : प्रत्येकं घटकं सङ्ख्यायन्तु येन प्रत्येकस्य घटकस्य संख्या 0 संख्यातः दूरतमं दूरं भवति । निम्नलिखित उदाहरणम् अस्य विषयस्य स्पष्टतया दर्शयति ।

द्रष्टुं शक्यते यत् 0 सङ्ख्यातः मध्यमघटकपर्यन्तं द्वौ मार्गौ स्तः अतः 0 तः दूरतमं मार्गं तस्य संख्यां कर्तुं चिनुत । अन्ततः प्राप्तम् : १.

वस्तुतः एतेन अवयवानां क्रमः परिभाष्यते । तदनन्तरं प्रत्येकस्य घटकस्य आन्तरिकं नोड्स् चिह्नितव्यम् :

यदि आलेखः एव कस्मात्चित् मैट्रिक्सात् आगच्छति तर्हि एतादृशी पुनः लेबलिंग् प्रक्रियायाः परिणामः भवति यत् Frobenius canonical matrix भवति!

वस्तुतः, एषा पुनः लेबलिंग् प्रक्रिया मूलमात्रिकायाः ​​परिवर्तनार्थं क्रमपरिवर्तनमात्रिकायाः ​​P इत्यस्य उपयोगः भवति, तथा च क्रमपरिवर्तनमात्रिका बहुविध-अन्तर्निहित-मात्रिकाणां उत्पादेन निर्मितं भवति

प्रमेयस्य सम्पूर्णं रूपं निम्नलिखितम् अस्ति ।

अवश्यं, मैट्रिक्सस्य प्रतिनिधित्वार्थं आलेखानां उपयोगस्य उपयोगः अस्मात् दूरं गच्छति यथा, वयं आलेखस्य eigenvalues ​​परिभाषितुं मैट्रिक्सस्य eigenvalues ​​इत्यस्य अपि उपयोगं कर्तुं शक्नुमः । वस्तुतः अस्याः चिन्तनरेखायाः कारणात् वर्णक्रमीयलेखसिद्धान्तस्य शोधक्षेत्रस्य जन्म अभवत् ।

निगमन

स्पष्टतया, मैट्रिक्स-ग्राफयोः मध्ये एषः समतुल्यतासम्बन्धः न केवलं आलेखसिद्धान्तसंशोधनार्थं सहायकः भवति, अपितु रेखीयबीजगणितस्य गणनाविश्लेषणयोः कृते नूतनदृष्टिकोणं अपि प्रदाति अस्य केचन महत्त्वपूर्णाः व्यावहारिकाः उपयोगाः अपि सन्ति यथा, डीएनए-दत्तांशः प्रायः आकृतिरूपेण अथवा आलेखरूपेण प्रतिनिधितः भवति ।

तदतिरिक्तं वयं सर्वे वर्तमानबृहत्-माडल-एआइ-कृते मैट्रिक्स-सञ्चालनस्य महत्त्वं जानीमः, तथा च ज्ञान-लेखैः प्रतिनिधित्वं प्राप्ताः आलेखाः पुनर्प्राप्ति-वर्धित-अन्वेषण-आदि-प्रौद्योगिकीनां माध्यमेन वर्तमान-ए.आइ.-इत्यस्य महत्त्वपूर्णं चालकं भवन्ति द्वयोः संयोजनेन एआइ व्याख्यातायां तथा आलेखकृत्रिमबुद्धौ केचन नवीनाः सफलताः आनेतुं शक्यन्ते । न्यूनतया एतेन रेखीयबीजगणितं अधिकतया ज्ञातुं साहाय्यं भवति ।

वस्तुतः उपर्युक्ता सामग्री "यन्त्रशिक्षणस्य गणितम्" इति पुस्तकात् निष्कासिता अस्ति यत् तिवादर डङ्का लिखति। अस्मिन् पुस्तके यन्त्रशिक्षणसम्बद्धं गणितीयज्ञानं सरलतः गहनस्तरपर्यन्तं परिचयः भविष्यति, येन पाठकाः यथार्थतया अवगन्तुं शक्नुवन्ति यत् एतत् किम् अस्ति, किमर्थं च क्रियते इति। सम्प्रति सः द्वौ अध्यायौ पूर्वावलोकनं ऑनलाइन प्रकाशितवान् इच्छुकाः पाठकाः अत्र गन्तुं शक्नुवन्ति: https://tivadardanka.com/mathematics-of-machine-learning-preview/।