nuntium

한어Русский языкEnglishFrançaisIndonesianSanskrit日本語DeutschPortuguêsΕλληνικάespañolItalianoSuomalainenLatina

Apparatus Cordis Report

Editor: Jiaqi

Matrix difficilis est intellectui, sed alia potest esse si eam ex alio prospectu spectes.

Cum mathematica discimus, saepe difficultate et abstractione scientiae frustrati discimus; sed interdum, mutato prospectu, simplicem et intuitivam problemati solutionem invenire possumus. Verbi gratia, cum sciremus formulam quadratorum summarum (a+b)² cum essemus, non intelligimus cur sit = a²+2ab+b² librum et magister quaesivit a nobis, ut hoc meminissemus;

Subito illuxit nobis ut eam ex prospectu geometrica comprehendamus!

Iam hic sensus illuminationis iterum occurrit: matrix non-negativa aequivalenter converti potest in graphum directum respondens!

Ut in figura infra ostendetur, 3×3 matrix a sinistra actu aequivalenter repraesentari potest sicut graphus directus continens tres nodos dextrorsum, et haec repraesentatio multum prodest tam matricis quam theoriae graphiae.

Hoc exemplum provenit ex Tivadar Danka mathematico, qui committitur ut omnibus math accessibilis sit. Mathematicus "bonum tenebrarum" auto-indicatum ad vivum induxit hanc aequivalentiam matricum et grapharum et eorum usus in serie tweetarum ac epistularum diariorum. Hactenus, haec tweets plus quam 2 decies centena milia lecta sunt, plus quam 3, 200 retweetes et 9,100 acceptores sunt.

Valentia matrices graphs direxit

Ut supra in exemplo monstratum est, si singulos ordines ut nodi tractamus, unumquodque elementum ore directo et gravato repraesentari potest. Nempe 0 elementa negligi possunt. Si elementum in versu i et columna j situm est, respondet margini a nodi i ad nodi j.

Primo aspectu, hoc multiplex videri potest, sed inspiciendo unum e nodis incipere possumus.

Ut in figura ostenditur, huic matrix 3×3, versu 1 nodi summae respondet (nodi 1 hic vocamus), quae 3 elementa continet, sed una earum est 0, ita nodi duo latera extendunt. Ora flavum elementum 0.5 ad (1,1) repraesentat, unde directa est crepidine 0,5. Eodem modo ora caerulea est ora quae nodi 2 demonstrat et 1 pondus habet.

Hoc modo resolvere possumus quod columna matricis prima respondet omnibus marginibus ad i-nodi demonstratis.

Quis usus huius repraesentationis aequipollens?

Haec aequivalentia inter matrices nonnegativas et graphas directas non solum adiuvat ut melius nos intellegant matrices earumque operationes, sed etiam adiuvant aliquos processus calculi simpliciores;

Verbi gratia, matrix potentiae ambulationes in grapho respondent.

Ut in figura supra demonstratum est, pro k-th potestate matricis n×n quadratae A, summatio processus cuiusque elementi omnes ambulationes k-gradus possibilis comprehendet.

Exempli causa, dicamus 3×3 matricem supra quadrare velle.

Si matrix multiplicatione utens, necesse est eam sic computare;

Ad primum operationis elementum, exitum consequi possumus = 0.5×0.5+1×0.2+0×1.8 = 0.45. Denique effectum integrum consequi possumus ut:

Tamen, si supra modum graphi ambulandi uteris, proventum ambulandi in via consequi potes. Similiter, ad primum elementum matricis provenientis, omnes semitas ambulationes 2-graduum perorare necesse est, quae a_{1,l} →a_{l,1} conformantur.

Attamen, si haec graphi directa statum catenae Markov repraesentat, quadrata transitus suae probabilitatis matricis essentialiter repraesentat probabilitatem catenae cuiusdam status post 2 gradus attingens.

Non solum quod matrices ut graphe repraesentantes nos quoque perspectiones in matricis structurae nonnegativas dare possunt. Ad hoc faciendum, dixit Danka notionem "fortiter coniunctarum partium" primum intelligere oportet.

Vehementer coniuncta pars

Quid est pars valde connexa? Pro graphe directo, si omnis alius nodi in grapho attingi potest ab omni nodo, dicimus graphum valde connexum esse. Ut infra patebit.

Pars valde connexa refertur ad partem/subgrapham in grapho directo quae validam connectivity consequi potest. Ut in figura infra ostendetur, dextra et dextra pars fortiter connexa est, alba autem media in margine non nulli parti valde connexo convenit.

Figura infra aliud exemplum ostendit, ubi pars flava est pars valde connexa;

Matrix graphe valde connexa respondens est matrix irreducibilis, cum omnes aliae matrices in matrice non-negativo reducuntur matrices.

Danka explicat exemplo. (Ad simplicitatem expositionis, omnia pondera in exemplo sunt pondera unitatis, sed in praxi huiusmodi valores ponderis non-negative possunt esse.

Deinde, haec grapha, quae membra fortiter connexa continet, sed non valde connexa, in formam respondentem matricis convertitur;

Et haec matrix est ejus- matricem.

Videri potest quod duae submatrices in principali diametro repraesentant duo latera valde connexa, cum submatrix dextra superior extremam partem a primo valde coniunctam ad alterum componentium fortiter connexum repraesentat, et altera a sinistra inferiori repraesentat. Repraesentat marginem a 2nd valde connexum componente cum 1 componente valde connexum (quia talis in ore non est, tota est 0).

Hanc formam scribendi truncum vulvam Frobenius vulgari forma appellabat.

Quaerimus ergo naturaliter: Possumusne aliquam matricem non-negativam in Frobenium matricem canonice converti?

Utendo graphe directo ad matricem non-negativam repraesentandam, facile perspicimus responsionem esse affirmationem, quandoquidem quaelibet graphia directa matricis non-negativa repraesentari potest tamquam valide connexa membra inter se connexa repraesentari. Processus valde simplex est;

1. Construe graphas directas pro matricibus non-negantibus correspondentes;
2. Vehementer connexa reperi partes;
3. Meliorem viam inveniendi nodi in label.

Et factum es!

Utere graphs ut Frobenius vexillum formam

So, Quid hoc melius?

Ex exemplo praedicto, vide processum videamus.

Primo, singula membra fortiter connexa in unum obiectum infunduntur, ut in figura patebit. Hoc tempore unumquodque elementum valide connexum sicut arca nigra - non curamus de structura interna, sed de coniunctionibus externis.

Tunc in hac nova graphe, necesse est invenire elementa quae tantum oras habent sed non margines ineuntes habent. Unum tantum est in hoc specimine specifico, quod numerus 0 titulus est:

Proximus gradus molestus est: numerus singulae componentes ita ut numerus uniuscuiusque componentis sit longissima distantia a numero 0 . Hoc exemplum sequens clarius illustratur;

Videri potest duas semitas a numero 0 usque ad medium componentes, ita eligo semitam longissimam ab 0 ad eam numerandam. Tandem obtinuit;

Revera hic ordo partium definit. Proximam notam nodi interni uniuscuiusque componentis:

Si graphum ipsum a matrice provenit, talis processus in Frobenius canonice matrix relabelans evenit!

Revera, hic processus re-labentis est permutatione matricis P uti ad matricem originalem transmutandam, et permutatio matricis componitur ex ductu multiplicium matricum transpositorum.

Forma theorematis completa haec est:

Utique, usus graphs ad significandas matrices hoc longe excedit. Exempli gratia, etiam eigenvales matricis uti possumus ad eigenvales graphiae definiendas. Re quidem vera haec cogitatio orta est campus investigationis theoriae graphiae spectalis.

conclusio

Uti patet, haec aequivalentia inter matrices et graphas relatio non solum prodest ad theoriam graphes investigationis, sed etiam novam rationem praebet pro calculi et analysis algebrae linearis. Etiam usus practicus aliquos habet magni momenti. Exempli gratia, DNA notitia saepe in forma matricis vel graphi repraesentatur.

Omnes praeterea novimus momentum operationum matricis pro currenti magnae-exempli AI, et graphae quae per graphs scientiarum sunt magni momenti agitator fiunt AI per technologias sicut inquisitionis auctae retrievales. Coniunctio duo fortasse novos aliquos breakthroughs in AI interpretabilitatem et intelligentiam artificialem graphi adducere possunt. Saltem hoc adiuvat ut melius discas algebram linearem.

Re quidem vera, superius contentum ex libro "Mathematicae Doctrinae Machinae" extractum est quod Tivadar Danka scribit. Hic liber mathematicam cognitionem ad machinam discendi ex simplici ad altam pertinentem introducet, permittens lectores ad veritatem cognoscendam quid sit et cur id fiat. In praesenti, duos capitis praevisiones in linea remisit.